From fb6d8f286dad68591be75927d97ce417b68f8805 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Florian Fischer Date: Tue, 8 Oct 2024 18:57:58 +0200 Subject: improve square root addition inequality proof exercise --- Mathe/9/1/Aufgaben/beweise_groeser_binom.tex | 17 ++++++++++------- 1 file changed, 10 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/Mathe/9/1/Aufgaben/beweise_groeser_binom.tex b/Mathe/9/1/Aufgaben/beweise_groeser_binom.tex index c549f4a0..5967d87c 100644 --- a/Mathe/9/1/Aufgaben/beweise_groeser_binom.tex +++ b/Mathe/9/1/Aufgaben/beweise_groeser_binom.tex @@ -1,10 +1,13 @@ -\begin{Aufg} -Zeige, dass für positive reelle Zahlen $a$, $b$ stets gilt: $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ +\begin{Aufg}[- Beweis] +Begründe, dass für zwei positive reelle Zahlen $a$, $b$ gilt: +\[\bm{\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}}\] \end{Aufg} -\begin{Lsg} -symbolisch, argumentieren, problem loesen \\ -A3 \\ -$\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ Beide Seiten der Beziehung quadrieren \BE{1} \\ -$a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b > a+b$ \BE{1} +\begin{Lsg}[A3; K5 symbolisch, K1 Argumentieren, K2 Probleme lösen] +$\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$ \\ +Idee: Quadrate vergleichen. +Beide Seiten der Ungleichung quadrieren \\ +$a + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + b \Halfpoint > a+b\Halfpoint$ \\ +Da die Zahlen $a$ und $b$ positiv sind, ist auch $2\sqrt{a}\sqrt{b} > 0$\Halfpoint und damit gilt: \\ +$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 > (\sqrt{a + b})^2$ und $\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{a+b}$.\Halfpoint \end{Lsg} -- cgit v1.2.3