\renewcommand{\Verteilung}{2 + 5 + 3} %%Anzahl der Punkte festlegen

\begin{Aufg}
Ein Dorf an der Nordsee misst stündlich den Wasserpegel am örtlichen Bootssteg.
Im folgenden Graphen sind die Messungen, sowie die per Interpolation aus diesen abgeleitete Funktion eingezeichnet. Um den Wasserstand genau zu berechnen soll dieser als allgemeine Sinusfunktion modelliert werden.

\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{Aufgaben/Gezeiten_Messung.png}
\end{center}

\noindent\textbf{a)} Bestimme die Periode, sowie den Wertebereich der Sinusfunktion. \\
\textbf{b)} Ermittle eine Funktion $f(x)$, die den Wasserstand zu einer beliebigen Stunde genau bestimmt. \\
\textbf{c)} Berechne ob Fischer Karl mit seinem Boot mit 3 Meter Tiefgang um 20:15 auslaufen kann. Verwende zur Berechnung deine Funktion aus b) falls du kein Ergebnis hast verwende $f(x) = 2.5sin(\frac{\pi}{6}(x+3))+3$.
\end{Aufg}

\begin{Lsg}
\textbf{a)} $Periode = 12h $ \BE{1} $W=[0.5m, 5.5m]$ \BE{1} \\
\textbf{b)} x in Stunden, y in Meter\\
$f(x) = asin(b(x-c)) + d$ \\
$a = \frac{max-min}{2} = 2.5$ \BE{1} \ifeh{auf das richtige Ergebnis} \\
$d = min + a = 3$ \BE{1} \ifeh{auf das richtige Ergebnis} \\
Periode: 12h $12 = \frac{2\pi}{\abs{b}} \rightarrow b = \frac{pi}{6}$ \BE{2} \\
1/4 Periode nach links oder 3/4 nach rechts. $c = k(-3) \lor k9 (k \in \mathbb{N}$) oder $cos$ \BE{1} \ifeh{BE auf richtiges Ergebnis} \\
Die Funktion $f(x) = 2.5sin(\frac{\pi}{6}(x+3))+3$ modelliert den Wasserpegel auf die Zeit in Stunden.  \\
\textbf{c)} $20h 15min \rightarrow \frac{81}{4} = 20.25$ \BE{1} \\
$f(\frac{21}{4}) = 2.5sin(\frac{\pi}{6}(\frac{81}{4}+3))+3 \approx 2.043$ \BE{1}\\
Nein Karl kann nicht mit seinem Boot auslaufen da der Wasserpegel niedriger als 3 Meter ist. \BE{1}
\end{Lsg}