\documentclass{arbeitsauftrag}

\usepackage{dashrule}

\begin{document}
\underline{\textbf{Arbeitsauftrag:}}

Ermittle die Nullstellen der Funktion $f(x) = 2x^6 - 18x^3 + 16$.

Für \textbf{Tipps} falte an der \textit{gestrichelten Linie} auf. Die \textbf{Lösung} findest du
nach dem letzten Knick.

\hdashrule{\textwidth}{0.4pt}{1.5mm}

Überlege dir ob du Teile des Funktionsterms so ersetzen kannst dass du eine
dir bekannte Form erhältst. Dieses Vorgehen nennt man \textbf{Substitution}.

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Ersetze eine Potenz von $x$ im gesamten Term durch die neue Variable $u$.

\hdashrule{\textwidth}{0.4pt}{1.5mm}

Durch die Ersetzung von $x^3 = u$ erhältst du den Term einer quadratischen Funktion
$f(x) = 2u^2-18u + 16$.

\hdashrule{\textwidth}{0.4pt}{1.5mm}

Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind $u_1 = 8$ und $u_2 = 1$.
Welche Nullstellen ergeben sich wenn du die Substitution rückgängig machst?

\hdashrule{\textwidth}{0.4pt}{1.5mm}

$u = x^3 \Rightarrow x^3 = 8 \Rightarrow x_1 = 2$ und $x_2 = 1$.

\hdashrule{\textwidth}{0.4pt}{1.5mm}

\underline{\textbf{Lösung:}} Die Funktion $f(x)$ hat die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = 1$.

\end{document}