\begin{Aufg}
\begin{tabular}{p{0.6\textwidth} p{5cm}}
\vspace{-4.5cm}
Die Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen $f_G$ einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ vom Grad 6.

Alle Nullstellen sind ganzzahlig, zwei von ihnen kann man in der Abbildung erkennen; der angegebene Punkt $P$ liegt ebenfalls auf $f_G$. \vspace{0.3cm} \newline
\textbf{a)}
Begründe, dass $f$ genau eine weitere Nullstelle besitzt. \newline
\textbf{Tipp}: Wie verhält sich $f$ an den Rändern des Definitionsbereichs. &

\includegraphics[keepaspectratio, width=5cm]{Aufgaben/LPP-graph.png} \\
\end{tabular} \vspace{0.5cm}

\textbf{b)} 
Tatsächlich besitzt $f$ noch eine weitere Nullstelle bei $x=9$.
Ermittele einen Funktionsterm von $f$.
\end{Aufg}

\begin{Lsg}
\textbf{a)}
Der Graph einer ganzrationalen Funktion vom Grad 6 verläuft entweder \glqq{}von links unten nach
rechts unten\grqq{} oder \glqq{}von links oben nach rechts oben\grqq{}.
Da der abgebildete Graph Gf ebenfalls zu einer ganzrationalen Funktion vom Grad 6 gehört, muss er somit die x-Achse mindestens noch einmal schneiden, damit auch er diesen charakteristischen Verlauf besitzt. \vspace{5mm}

Außerdem gilt: Eine ganzrationale Funktion vom Grad 6 besitzt (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten) höchstens sechs Nullstellen.
In der Abbildung kann man (unter Berücksichtigung des Grads der Funktion) bereits eine doppelte Nullstelle bei $x = 1$ und eine dreifache Nullstelle bei $x = -2$ identifizieren.
Die Funktion $f$ besitzt folglich noch höchstens eine weitere einfache Nullstelle. \vspace{5mm}

\textbf{b)}
Die Funktion $f$ besitzt eine dreifache Nullstelle bei $x = -2$, eine doppelte Nullstelle bei $x = 1$ und eine einfache Nullstelle bei $x = 9$.
Aus diesen Informationen lässt sich der Funktionsterm von $f$ (bis auf einen Vorfaktor $a$) bestimmen:
\[ f(x) = a \cdot (x + 2)^3 \cdot (x - 1)^2 \cdot (x - 9) \]

Der Punkt P( -1| 2) liegt auf $G_f$, sodass gilt:

\[ f(-1) = a \cdot ( -1 + 2)^3 \cdot (-1 -1)^2 \cdot (-1 -9) = 2 \Leftrightarrow - 40a =-2 \Leftrightarrow a =-\frac{1}{20} \]

Somit gilt: $f(x) = -\frac{1}{20} \cdot (x + 2)^3 \cdot (x - 1)^2 \cdot (x - 9)$
\end{Lsg}