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\title{Zurück in die Antike}
\begin{document}
% \section*{\hfill Datum: \phantom{13.12.00}}
\makedate

Stell Dir vor bist Handwerkerin in der Antike.
Das Badehaus deiner Stadt soll renoviert werden.
Man hat sich darauf geeinigt, die Wand mit quadratischen Mosaiken mit Flächeninhalt von $\mathbf{A=\SI{12}{cm^2}}$ zu fliesen.

\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.5\textwidth} p{0.5\textwidth}}
\vspace{-6cm}
Wie lang sind die Seitenlängen der Mosaikquadrate?
Wie kannst du ihren genauen Wert bestimmen?
\vspace{0.2cm}
\kariert{8} &
\includegraphics[width=0.4\textwidth, keepaspectratio]{img/mosaik.png} \\
\end{tabularx}

Bestimme eine Annäherung auf 2 Nachkommastellen genau mit Hilfe einer \textbf{Intervallschachtelung}.
\vspace{0.2cm}

\kariert{10}

\subsubsection*{Das muss doch auch einfacher gehen!}

{\textbf{Gruppenarbeit: {\Large \faIcon{users}}} Gut, dass du und deine Kolleginnen nicht nur handwerklich, sondern auch mathematisch begabt seid.
Setzt euch zusammen und begebt euch auf die Suche nach einem besseren Verfahren.

\subsubsection*{Mist! Warum sind es keine Rechtecke?}

\textit{Die Seitenlängen von Rechtecken mit Flächeninhalt $\boldmath{A=\SI{12}{cm^2}}$ lassen sich viel einfacher berechnen.}
Berechne die Länge der zweiten Seite $\bm b$ eines Rechtecks mit $\boldmath{A=\SI{12}{cm^2}}$ und $\boldmath{a=\SI{12}{cm}}$?
\\

\kariert{6}

\vspace{0.3cm}
Erkläre, wie du die Seitenlänge eines Rechtecks, aus einer Seitenlänge und dem Flächeninhalt berechnest.

\vspace{0.1cm}
\kariert{6}

\newpage

\subsubsection*{Rechtecke zu Quadraten}

\textit{Wie können wir es schaffen, dass unsere einfachen Rechtecke immer \textit{"quadratischer"} werden?} \\[0.2cm]
Bestimmt die Seiten $\bm{a_1}$ und $\bm{b_1}$ eines neuen Rechtecks mit $\boldmath{A=\SI{12}{cm^2}}$, dessen Seitenlängen einem Quadrat näher kommen.
Verwendet dabei das Rechteck $\boldmath{a=\SI{6}{cm}, b=\SI{2}{cm}}$ als Ausgangspunkt. \\
Zeichnet beide Rechtecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt. \\[0.2cm]
\textbf{Tipp}: Erinnert euch an die Berechnung von Mittelwerten und wählt passend aus.
\vspace{0.3cm}

\kariert{8}

\subsubsection*{Schritt für Schritt}

Entwickelt ein Vorgehen, wie ihr durch die Umwandlung eines Rechtecks in ein anderes, einem Quadrat ähnlicherem, die Seitenlänge $\boldmath{\sqrt{\SI{12}{cm^2}}}$ schrittweise annähern könnt.

\vspace{0.5cm}

\kariert{20}

\begin{defbox}{Heron-Algortihmus}

Mit dem \textbf{Heron-Verfahren} lassen sich Näherungswerte für $\sqrt{z}, z > 0$, berechnen.
Dabei wird immer der selbe Rechenschritt ausgeführt und jeweils das letzte Ergebnis wiederverwendet.

\iflehrer{
$a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n+b_n); b_{n+1} = \frac{z}{a_{n+1}} \Rightarrow a_{n1+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{z}{a_n})$}
{\vspace{3cm}}

Mit wachsendem $n$ nähert sich der Wert $a$ dem Wert von {\large $\boldmath{\sqrt{z}}$} immer mehr an.
\end{defbox}

\end{document}