\documentclass[13pt]{handout}
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\geometry{margin=2cm}
\onehalfspacing

\title{Liberty Bell}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\section{Spielautomat}

\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.6\textwidth} p{0.4\textwidth}}
\vspace{-1.3cm}
In folgender Vierfeldertafel hat jemand Ereignisse eines Spielautomaten notiert.
Das Ereignis $A$ beschreibt \textit{"drei Herzen in einer Reihe"} und das Ereignis $B$ \textit{"drei Karos in einer Reihe"}. &
\scalebox{1.5}{
\begin{tabular}{c | c | c | c }
               & $A$ & $\overline{A}$ & \\
\hline
$B$            &  0  & 1              & 1 \\
\hline
$\overline{B}$ &  2  & 7              & 9 \\
\hline
               &  2  & 8              & 10 \\
\end{tabular}} \\
\end{tabularx}

\subsubsection*{\faIcon{lightbulb}\faIcon{hands-helping} Think - Pair}

\begin{enumerate}[a), itemsep=0pt]
\item Begründe, ob du mit den angegebenen absoluten Häufigkeiten auf die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse schließen kannst.
\item "Eine Wahrscheinlichkeit ist ja sowieso klar". Nimm Stellung zu dieser Aussage.
\item \faIcon{hands-helping} Tauscht euch über eure Ergebnisse aus.
\end{enumerate}

\iflehrer{
\begin{enumerate}[a), itemsep=0pt]
\item Nein zu wenig Ergebnisse. 
\item A und B können nie gleichzeitig eintreten deswegen: $P(A \cup B) = 0$
\end{enumerate}
}{
\kariert{8}
\vspace{-0.5cm}
}
\section{Ein vereinfachtes Modell}
\begin{tabularx}{\textwidth}{p{0.25\textwidth} p{0.7\textwidth}}
\includegraphics[keepaspectratio, width=0.2\textwidth]{img/slots.png} &
\vspace{-3cm}
Wir wollen einen Spielautomat betrachten, der aus drei Walzen besteht, die nur die vier Symbole $\heartsuit$, $\diamondsuit$, $\clubsuit$, $\spadesuit$ in gleicher Anzahl enthalten.
Die Position jeder Walze am Ende eines Spiels ist zufällig und unabhängig von den anderen Walzen.
Bei drei gleichen Symbolen wird ein Gewinn ausgezahlt. \\
\end{tabularx}

\subsubsection*{\faIcon{hands-helping} Wahrscheinlichkeiten}

\begin{enumerate}[a), itemsep=0pt]
\item Bestimmt die Mächtigkeit der Ergebnismenge $\Omega$.
\item Bestimmt die Wahrscheinlichkeit, dass die Walzen drei gleiche Symbole anzeigen.
\item Der \textbf{"return to player" (RTP)} Wert gibt an wie viel Prozent des Einsatzes wieder ausgeschüttet wird. Bestimme den RTP, wenn der achtfache Einsatz bei einem Gewinn ausgezahlt wird.
Wie hoch darf der gezahlte Gewinn maximal sein, damit der Spielautomat Geld einnimmt?
\end{enumerate}
% \iflehrer{}{\vfill\hfill{\small Umblättern $\rightarrow$}}

\iflehrer{
\begin{enumerate}[a), itemsep=0pt]
\item $4\cdot4\cdot4\cdot4 = 64$
\item $G: \text{Gewinn}; \text{Vier Möglichkeiten} \rightarrow P(G) = \frac{4}{64} = \frac{1}{16} = 6,25\%$
\item $8\cdot\frac{1}{16} = 50\%$ Der Gewinn muss kleiner als das Sechzehnfache des Einsatzes sein.
\end{enumerate}
}{
\kariert{10}
}

\subsubsection*{\faIcon{hands-helping} Ereignisse}
Die Herstellerfirma überlegt, bei zwei gleichen Symbolen den Einsatz zurückzuzahlen. 
\begin{enumerate}[a), itemsep=0pt]
\item Begründet, welche Ereignisse für die Überlegung der Firma von Bedeutung sind.
\item Stellt diese Ereignisse graphisch dar. 
\item \textbf{Schwierig:} Bestimmt nachvollziehbar die Wahrscheinlichkeit dafür, dass "der Einsatz zurückgezahlt werden muss".
\item Erstellt eine Vierfeldertafel mit den Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse "Einsatz wird zurückbezahlt" ($56,25\%$) und "Gewinn ($6,25\%$)".
\item Überlegt euch für euer Gegenüber ein verknüpftes Ereignis, entweder in Worten, Symbolen oder graphisch und lasst dazu die fehlenden zwei Darstellungen ergänzen.
\end{enumerate}

\iflehrer{
\begin{enumerate}[a), itemsep=0pt]
\item Z: Zwei Gleiche; D: Drei Gleiche; Alle anderen Ereignisse sind aus Sicht der Firma gleich.
\item \begin{tikzpicture}
  \node[rectangle, draw, minimum width=3cm, minimum height=2.5cm] {\vspace{1cm}\hspace{3cm}$\Omega$};
  \node[circle, draw, minimum size=2cm] {\hspace{-1.5cm}$Z$};
  \node[circle, draw, minimum size=1cm] {$D$};
\end{tikzpicture}
\item 4 Möglichkeiten pro Walzenpaar mal 3 Stellungen der dritten Walze \\ $P(Z) - P(D) = \frac{4\cdot3\cdot3}{64} = \frac{36}{64} + 56,25\%$
\item \begin{tabular}{c | c | c | c }
               & $Z$      & $\overline{Z}$ & \\
\hline
$D$            & $0,0625$ &       0        & $0,0625$ \\
\hline
$\overline{D}$ & $0,5625$ &      $0,375$   & $0,9375$ \\
\hline
               & $0,625$  &      $0,375$   & 1 \\
\end{tabular}

\item Individuelle Lösung
\end{enumerate}
}{
\kariert{23}
}

\end{document}
% \includegraphics[keepaspectratio]{img/suits.png}