diff options
Diffstat (limited to 'LP2/LP2.tex')
| -rw-r--r-- | LP2/LP2.tex | 111 |
1 files changed, 58 insertions, 53 deletions
diff --git a/LP2/LP2.tex b/LP2/LP2.tex index 49208b47..d9292ae9 100644 --- a/LP2/LP2.tex +++ b/LP2/LP2.tex @@ -110,18 +110,18 @@ Betreuungslehrerin: & StRin P. Müller Seit Beginn des Schuljahres unterrichte ich die Klasse 7A im Fach Mathematik mit vier Unterrichtsstunden die Woche. -Die vier Wochenstunden verteilen sich auf die ersten Stunden am Montag, und Mittwoch, die zweite Stunde am Dienstag sowie die sechste Stunde am Donnerstag. +Die vier Wochenstunden verteilen sich auf die ersten Stunden am Montag und Mittwoch, die zweite Stunde am Dienstag sowie die sechste Stunde am Donnerstag. In der Klasse 7A befinden sich regulär 19 \gls{SuS}, davon sind 15 weiblich und 4 männlich. In der Klasse herrscht vor allem in den frühen Stunden meist eine produktive Lernatmosphäre sowie -bereitschaft. -Die Klasse wurde von mir in vier zufällige Teams a 4 bis 5 Personen eingeteilt. -Diese Teams konkurrieren um einen Team-Sieg am Ende des Schuljahrs. -Dem Gewinnerteam wurde ein noch nicht konkret ausgestalteter Gewinn versprochen. -Der aktuelle Zwischenstand wird auf einem Spielbrett, das im Klassen Notizbuch auf Teams für alle einsehbar ist festgehalten. +Die Klasse wurde von mir in vier zufällige Teams á 4 bis 5 Personen eingeteilt. +Diese Teams konkurrieren um einen Sieg am Ende des Schuljahres. +Dem Gewinnerteam wurde ein noch nicht konkret ausgestalteter Gewinn in Aussicht gestellt. +Der aktuelle Zwischenstand wird auf einem Spielbrett, das im Klassen-Notizbuch auf Teams für alle einsehbar ist, festgehalten. Jede Hausaufgabe wird von einer Schülerin oder einem Schüler vorgestellt. Erfolgreiche Vorstellungen werden mit einem Punkt für das eigene Team honoriert. -Punktverlust droht für vergessene Hausaufgaben, und doppelter Punktverlust für vergessene Hausaufgaben, wenn dieses versucht wurde zu verheimlichen. +Punktverlust droht für vergessene Hausaufgaben, und doppelter Punktverlust für vergessene Hausaufgaben, wenn versucht wurde dies zu verheimlichen. Begleitend zum Unterricht, gewöhnlich als Wiederholung der Vorstunden, veranstalte ich oft ein kleines Quiz, an dem die Teams mit Ehrgeiz teilnehmen. @@ -129,39 +129,42 @@ In der Klasse sind einige sehr starke \gls{SuS}, die das Unterrichtsgespräch mi Vor allem stechen die Mädchen, Isabelle, Aliena, sowie Elisa aus der ersten Reihe heraus. Ebenfalls in der ersten Reihe bereichert Marcel den Unterricht durch seine intelligente aufmerksame Art. -Auch Emma sticht durch ihre Mitarbeit und Motivation hervor, hat aber leider Probleme ihr Verständnis und zu Papier zubringen, weshalb ihr schriftliches Notenbild leider ihre Motivation sowie Interesse nicht abbildet. +Auch Emma sticht durch ihre Mitarbeit und Motivation hervor, hat aber leider Probleme ihr Verständnis zu Papier zubringen, weshalb ihr schriftliches Notenbild leider ihre Motivation sowie Interesse nicht abbildet. -Der große Rest der Klasse ist eher ruhig aber arbeitet meist zuverlässig mit. +Der große Rest der Klasse ist eher ruhig, aber arbeitet meist zuverlässig mit. -Zum unteren Leistungsspektrum der Klasse zählen viele der \gls{SuS} der letzten Reihe, mit Ausnahme von der bereits erwähnten Emma, sowie Laura, die die siebte Klasse wiederholt. +Zum unteren Leistungsspektrum der Klasse zählen viele \gls{SuS} der letzten Reihe, mit Ausnahme von der bereits erwähnten Emma, sowie Laura, die die siebte Klasse wiederholt. Laura und ihre Schwester Carina arbeiten ungern zusammen und sitzen auf eigenem Wunsch seit Mitte des Schuljahrs getrennt. Alle \gls{SuS} arbeiten ausschließlich analog auf Papier. -Der Unterstufe ist das Mitführen von Smartphones nur ausgeschaltet wahrend der Unterrichtszeit gestattet. +Der Unterstufe ist während der Unterrichtszeit das Mitführen von Smartphones nur ausgeschaltet gestattet. \section{Didaktische Überlegungen} \subsection{Einordnung in den Lehrplan und in den Unterrichtsverlauf} Die Stunde fällt in den Lernbereich \textbf{M7.5 Kongruenz, besondere Dreiecke und Dreieckskonstruktionen}, welcher 29 Stunden umfasst und somit der zweitgrößte Lernbereich der 7. Jahrgangsstufe ist. Im verwendeten Schulbuch \citetitle{LS7} vom Klett Verlag wird der Lernbereich als letzter behandelt. -Im ersten Halbjahr werden die Volumen-, sowie Oberflächeninhaltsberechnung von geraden Pyramiden und Kegeln behandelt. +% Im ersten Halbjahr werden die Volumen-, sowie Oberflächeninhaltsberechnung von geraden Pyramiden und Kegeln behandelt. Das Thema der Lehrprobe \textit{Satz des Thales} folgt logisch der vorangegangenen Betrachtungen von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken. -Insbesondere, die Vorkenntnisse über den Basiswinkelsatz im gleichschenkligen Dreieck ist Voraussetzung für den gängigen Beweis des Satzes des Thales. +Insbesondere, die Vorkenntnisse über den Basiswinkelsatz im gleichschenkligen Dreieck ist Voraussetzung für den gängigen Beweis des Satz des Thales. % SA verschoben -Deshalb und weil für die übernächste Stunde nach der Lehrprobe ein kleiner angekündigter Leistungsnachweis angesetzt ist, ist die Unterrichtssequenz um die Lehrprobe wie folgt gestaltet: +Deshalb ist die Unterrichtssequenz um die Lehrprobe wie folgt gestaltet: +% Deshalb und weil für die übernächste Stunde nach der Lehrprobe ein kleiner angekündigter Leistungsnachweis angesetzt ist, ist die Unterrichtssequenz um die Lehrprobe wie folgt gestaltet: \begin{itemize} \item \textbf{Vorstunde}: In den letzten beiden Stunde vor den Pfingstferien, machen die \gls{SuS} den Satz vom gleichschenkligen Dreieck und mit besonderem Fokus den Basiswinkelsatz, basierend auf den eingeführten Bezeichnungen der Bestandteile von gleichschenkligen Dreiecken, sowie ihren Kenntnissen über Achsensymmetrie und Kongruenz von Dreiecken plausibel. -\item \textbf{Vorstunde}: In der ersten Stunde nach den Pfingstferien, wiederholen die \gls{SuS} die vor den Ferien erworbenen Kompetenzen in Bezug auf gleichschenklige sowie gleichseitige Dreiecke. Anschließend verwenden die \gls{SuS}, die ihnen aus dem Alltag bekannte Wenn-Dann-Form um mathematische Aussagen und Sätze zu formulieren. +\item \textbf{Vorstunde}: In der ersten Doppelstunde nach den Pfingstferien, wiederholen die \gls{SuS} die vor den Ferien erworbenen Kompetenzen in Bezug auf gleichschenklige sowie gleichseitige Dreiecke. +Anschließend verwenden die \gls{SuS} die ihnen aus dem Alltag bekannte Wenn-Dann-Form, um mathematische Aussagen und Sätze zu formulieren. +Sie analysieren die Bestandteile derartiger Aussagen, bilden durch Vertauschen von Voraussetzung und Behauptung den Kehrsatz zu einer Aussage und untersuchen deren Wahrheitsgehalt. \item \textbf{Lehrprobenstunde}: In der Lehrprobe entwickeln die \gls{SuS} sowohl experimentell als auch an einem Modell eine Vermutung über den Thaleskreis. -Anschließend wird diese durch eine formale Herleitung aus Bekanntem bestätigt. -Der anfängliche Impuls und die Anknüpfung an den das mit besonderem Fokus Hauspokal verbindet die Mathematik mit der Alltagswelt der \gls{SuS} und sorgt für eine Einbettung in den restlichen Mathematik-Unterricht. +Anschließend wird diese durch einen formalen Beweis basierend auf Bekanntem bestätigt. +Der anfängliche Impuls und die Anknüpfung an den Hauspokal verbindet die Mathematik mit der Alltagswelt der \gls{SuS} und sorgt für eine Einbettung in den restlichen Mathematik-Unterricht. \item \textbf{Folgestunde}: In der Folgestunde üben und vertiefen die \gls{SuS} die nun bekannten Zusammenhänge in rechtwinkligen Dreiecken. -Sie beschreiben rechtwinklige Dreiecke mit den Begriffen Kathete und Hypotenuse und führen Dreieckskonstruktionen mithilfe des Thaleskreis durch. +Sie machen den Kehrsatzes des Satz des Thales plausibel, beschreiben rechtwinklige Dreiecke mit den Begriffen Kathete und Hypotenuse und führen Dreieckskonstruktionen mithilfe des Thaleskreis durch. \end{itemize} \newpage @@ -172,17 +175,17 @@ Das verwendete Schulbuch verwendet eine interaktive Modellierung in einer \gls{D Eine dritte Erarbeitung der Vermutung mittels einem realen Beispiel, bei dem ein Fotograf die Würzburger Residenz mit einem $90\degree$ Kamera-Objektiv fotografieren möchte, bietet die im LehrplanPlus angebotene illustrierende Aufgabe \cite{LPP-GY-M_750-5-A_IchDuWirThaleskreis}. Nach den unterschiedlichen Einführungen beweisen die untersuchten Schulbücher die Vermutung mithilfe des bereits bekannten Basiswinkelsatzes und zwei gleichschenkligen Dreiecken, deren Schenkel dem Radius des Thaleskreises entsprechen. -Das Schulbuch \citetitle{LS7} beweist zuerst, denn Kehrsatz und erst im Anschluss den Satz des Thales. +Das Schulbuch \citetitle{LS7} beweist zuerst den Kehrsatz und erst im Anschluss den Satz des Thales. -\begin{wrapfigure}{r}{7cm} +\begin{wrapfigure}[17]{r}{7cm} \includegraphics[keepaspectratio, width=6cm]{img/1233px-Thales_theorem_by_refelection1.svg} \caption{Vervollständigung des Dreiecks $ABC$ zu einem Rechteck $ACDB$ durch Punktspiegelung des Punktes $C$ am Mittelpunkt $M$ des Halbkreises über $\overline{AB}$ (vgl. Wikipedia \cite{thalesRectangle}, freigegeben unter \href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/}{Creative-Commons-Lizenz BY 4.0.})} \label{fig:thalesRect} \end{wrapfigure} -Die Herleitung über zwei gleichschenklige Dreiecke basiert auf den im Schuljahr bereits erworbenen Kompetenzen in der Bestimmung und Argumentation mit Winkeln und der Konstruktion von Dreiecken und ist damit gut verständlich. +Die Herleitung über zwei gleichschenklige Dreiecke basiert auf den im Schuljahr bereits erworbenen Kompetenzen in der Bestimmung und Argumentation mit Winkeln in Dreiecken und ist damit gut verständlich. -Die mögliche Herleitung des Satzes des Thales per Vervollständigung eines Vierecks, dargestellt in \ref{fig:thalesRect} basiert ebenfalls nur auf bereits erworbenen Kenntnissen zu Symmetrie und insbesondere den Symmetrieeigenschaften von Rechtecken, ist aber komplexer und liegt im Schuljahr weiter zurück. +Die mögliche Herleitung des Satz des Thales per Vervollständigung eines Vierecks, dargestellt in \ref{fig:thalesRect} basiert ebenfalls nur auf bereits erworbenen Kenntnissen zu Symmetrie und insbesondere den Symmetrieeigenschaften von Rechtecken, ist aber komplexer und liegt im Schuljahr weiter zurück. Der Beweis mithilfe von kartesischen Koordinaten ist nicht für die 7. Jahrgangsstufe geeignet, da der erst im Lernbereich \textbf{M9.6} eingeführte Satz des Pythagoras benötigt wird. \newpage @@ -200,7 +203,7 @@ Der Beweis mithilfe von kartesischen Koordinaten ist nicht für die 7. Jahrgangs \begin{tikzpicture} \coordinate (a) at (-2, 1); \coordinate (b) at (1, -2); - \coordinate (c) at (-1.8, -2); + \coordinate (c) at (-1.6, -2); \coordinate (d) at (1.2, 1.9); \path[name path=ab] (a) -- (b); \path[name path=cd] (c) -- (d); @@ -227,26 +230,26 @@ Der Beweis mithilfe von kartesischen Koordinaten ist nicht für die 7. Jahrgangs \end{subfigure} \end{figure*} -Zu Beginn des Schuljahres werden im Lernbereich \textbf{M7.2.2} "Winkelbetrachtung an Figuren", die Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, für die Winkelbeziehungen an einfachen und doppelten Geradenkreuzungen eingeführt. +Zu Beginn des Schuljahres werden im Lernbereich \textbf{M7.2.2} "Winkelbetrachtung an Figuren", die Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel für die Winkelbeziehungen an einfachen und doppelten Geradenkreuzungen eingeführt. An einer Geradenkreuzung nennt man sich gegenüberliegende Winkel \textbf{Scheitelwinkel}. Es gilt, dass Scheitelwinkel gleich groß sind. Demnach gilt in der \Cref{fig:einfachkreuzung}, dass die gleich gefärbten Winkel gleich groß sind. \[ \alpha = \gamma, \text{bzw.~} \beta = \delta \] -Die beiden an einer Geradenkreuzung nebeneinanderliegende Winkel nennt man \textbf{Nebenwinkel}. +Die beiden an einer Geradenkreuzung nebeneinanderliegenden Winkel nennt man \textbf{Nebenwinkel}. Nebenwinkel ergänzen sich immer zu $180\degree$. -Demnach gilt in der \Cref{fig:einfachkreuzung} abgebildete rote Kreisbögen bestehend aus den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ ist ein Halbkreis bzw. ein gestreckter Winkel. +Demnach gilt der in der \Cref{fig:einfachkreuzung} abgebildete rote Kreisbogen bestehend aus den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ ist ein Halbkreis bzw. ein gestreckter Winkel. \[ \alpha + \beta = 180\degree \] Von einer Doppelkreuzung spricht man, wenn zwei Geraden von einer Dritten geschnitten werden. -Mann bezeichnet sich entsprechende Winkel an den jeweiligen Kreuzungen als \textbf{Stufenwinkel} ($\alpha_2$ und $\alpha_1$ in der \Cref{fig:doppelkreuzung}). +Man bezeichnet sich entsprechende Winkel an den jeweiligen Kreuzungen als \textbf{Stufenwinkel} ($\alpha_2$ und $\alpha_1$ in der \Cref{fig:doppelkreuzung}). Den Scheitelwinkel zum Stufenwinkel eines Winkels wird als \textbf{Wechselwinkel} ($\alpha_2$ und $\gamma_1$ in \Cref{fig:doppelkreuzung}) bezeichnet. -Man spricht bei Stufenwinkeln auch von \textbf{F}-Winkel und bei Wechselwinkeln von \textbf{Z}-Winkeln aufgrund ihrer Lage an den Geraden die an die Buchstaben \textbf{F} und \textbf{Z} erinnern. +Man spricht bei Stufenwinkeln auch von \textbf{F}-Winkeln und bei Wechselwinkeln von \textbf{Z}-Winkeln aufgrund ihrer Lage an den Geraden die an die Buchstaben \textbf{F} und \textbf{Z} erinnert. -Wenn zwei der Geraden parallel sind ($g_1$ und $g_2$ in \Cref{fig:doppelkreuzung}), dann gilt, dass Stufen und Wechselwinkel jeweils gleich groß sind. -\[ \alpha_1 = \alpha_2 \text{bzw.} \alpha_2 = \gamma_1 \] +Wenn zwei der Geraden parallel sind ($g_1$ und $g_2$ in \Cref{fig:doppelkreuzung}), dann gilt, dass Stufen- und Wechselwinkel jeweils gleich groß sind. +\[ \alpha_1 = \alpha_2 \text{~bzw.~} \alpha_2 = \gamma_1 \] \subsubsection{Innenwinkelsumme eines Dreiecks} @@ -258,7 +261,7 @@ Wenn zwei der Geraden parallel sind ($g_1$ und $g_2$ in \Cref{fig:doppelkreuzung \end{wrapfigure} In einem Dreieck $ABC$ ergibt sich an der Hilfslinie $g_2$ durch den Punkt $C$ und parallel zur Strecke $\overline{AB}$ ein gestreckter Winkel $\alpha' + \gamma + \beta' = 180\degree$. -Da es sich bei den Winkeln $\alpha'$, sowie $\beta'$ um Wechselwinkel zu $\alpha$ bzw. $\beta$ handelt, da $g_2$ parallel zu der Strecke $\overline{AB}$ ist, gilt: $\alpha' = \alpha$ und $\beta' = \beta$ (siehe \Cref{fig:winkelsummeDreieck}). +Da es sich bei den Winkeln $\alpha'$, sowie $\beta'$ um Wechselwinkel zu $\alpha$ bzw. $\beta$ handelt, und $g_2$ parallel zu der Strecke $\overline{AB}$ ist, gilt: $\alpha' = \alpha$ und $\beta' = \beta$ (siehe \Cref{fig:winkelsummeDreieck}). Daraus folgt: \[\alpha + \beta + \gamma = 180\degree \] @@ -267,21 +270,21 @@ Demnach gilt für jedes Dreieck $ABC$, dass die Summe aller Innenwinkel $180\de \subsubsection{Kongruenz von Dreiecken} -Zwei Figuren $F$ und $G$, die sich durch Drehung, Verschiebung oder Spiegelung vollständig zur Deckung gebracht werden können heißen \textbf{kongruent}. +Zwei Figuren $F$ und $G$, die durch Drehung, Verschiebung oder Spiegelung vollständig zur Deckung gebracht werden können, heißen \textbf{kongruent}. Kongruente Figuren stimmen in allen einander entsprechenden Seiten und Winkeln überein. Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn einer der folgenden Kongruenzsätze gilt. \begin{itemize} -\item[\textbf{SSS}] Dreiecke die in allen drei Seiten übereinstimmen sind kongruent. -\item[\textbf{SWS}] Dreiecke die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel der Seiten übereinstimmen sind kongruent. -\item[\textbf{SsW}] Dreiecke die in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen sind kongruent. -\item[\textbf{WSW}] Dreiecke die in einer Seite und den beiden angrenzenden Winkeln übereinstimmen sind kongruent. -\item[\textbf{SWW}] Da durch die Innenwinkelsumme des Dreiecks aus zwei Winkeln der Dritte eindeutig bestimmbar ist, lässt sich, für ein beliebiges Dreieck von dem eine Seite und zwei Winkel bekannt sind der Dritte bestimmen und somit der Kongruenzsatz \textbf{WSW} anwenden. -Demnach sind Dreiecke die in einer Seite und zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen kongruent. +\item[\textbf{SSS}] Dreiecke, die in allen drei Seiten übereinstimmen, sind kongruent. +\item[\textbf{SWS}] Dreiecke, die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel der Seiten übereinstimmen, sind kongruent. +\item[\textbf{SsW}] Dreiecke, die in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, sind kongruent. +\item[\textbf{WSW}] Dreiecke, die in einer Seite und den beiden angrenzenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent. +\item[\textbf{SWW}] Da durch die Innenwinkelsumme des Dreiecks aus zwei Winkeln der Dritte eindeutig bestimmbar ist, lässt sich für ein beliebiges Dreieck von dem eine Seite und zwei Winkel bekannt sind der Dritte bestimmen und somit der Kongruenzsatz \textbf{WSW} anwenden. +Demnach sind Dreiecke, die in einer Seite und zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen, kongruent. \end{itemize} -Ein Dreieck, von dem ausreichend Informationen bekannt sind um einen Kongruenzsatz zu erfüllen, ist eindeutig konstruierbar. +Ein Dreieck, von dem ausreichend Informationen bekannt sind, um einen Kongruenzsatz zu erfüllen, ist eindeutig konstruierbar. \subsubsection{Satz des gleichschenkligen Dreiecks} @@ -295,40 +298,41 @@ Trifft für ein Dreieck eine der folgenden Aussagen zu, so gelten auch die beide \item Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel. \end{enumerate} -Insbesondere der Basiswinkelsatz, der besagt das die Winkel, welche die Basis einschließen, die \textbf{Basiswinkel}, in gleichschenkligen Dreiecken gleich groß sind kann wie in \Cref{fig:basiswinkelsatz} dargestellt bewiesen werden. +Insbesondere der Basiswinkelsatz, der besagt, dass die Winkel, welche die Basis einschließen, die \textbf{Basiswinkel}, in gleichschenkligen Dreiecken gleich groß sind, kann wie in \Cref{fig:basiswinkelsatz} dargestellt bewiesen werden. -\begin{figure*} +\begin{figure*}[b] \centering \includegraphics[keepaspectratio, width=0.6\textwidth]{img/basiswinkelSatz} \caption{Darstellung des Basiswinkelsatzes in einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$. -Durch die Zerlegung in zwei Teildreiecke nach dem Kongruenzsatz \textbf{SsW} kongruente Dreiecke (vgl. \cite[165]{cornelsen2019fokus}).} +Durch die Zerlegung in zwei Teildreiecke entstehen nach dem Kongruenzsatz \textbf{SsW} kongruente Dreiecke (vgl. \cite[165]{cornelsen2019fokus}).} \label{fig:basiswinkelsatz} \end{figure*} Zerlegt man ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit Basis $\overline{AB}$ anhand der Höhe $h_c$, die senkrecht auf der Basis steht in zwei Teildreiecke, dann sind beide Teildreiecke nach dem Kongruenzsatz \textbf{SsW} kongruent. -Die beiden Schenkel sind gleich da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, die Höhe $h_c$ ist in beiden Dreiecken gleich, sowie der rechte Winkel zwischen der senkrecht auf der Basis stehenden Höhe $h_c$ und dem jeweiligen Teilstück der Basis (siehe \Cref{fig:basiswinkelsatz}). -Da kongruente Figuren in allen Winkeln übereinstimmen, das die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind. +Die beiden Schenkel sind gleich, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, die Höhe $h_c$ ist in beiden Dreiecken gleich, sowie der rechte Winkel zwischen der senkrecht auf der Basis stehenden Höhe $h_c$ und dem jeweiligen Teilstück der Basis (siehe \Cref{fig:basiswinkelsatz}). +Da kongruente Figuren in allen Winkeln übereinstimmen folgt, dass die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind. \subsubsection{Satz des Thales} Der Satz des Thales, dessen erster Beweis dem griechischen Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben wird, besagt, dass wenn der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ liegt, dann hat das Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel. -Angenommen der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ liegt auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann teilt die Strecke $\overline{CM}$ vom Punkt $C$ zum Mittelpunkt $M$ des Halbkreises den Winkel $\gamma$ des Dreiecks in zwei Teile: $\gamma_1$ und $\gamma_2$ (siehe \Cref{fig:thales}). +Angenommen der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ liegt auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann teilt die Strecke $\overline{CM}$ von Punkt $C$ zum Mittelpunkt $M$ des Halbkreises den Winkel $\gamma$ des Dreiecks in zwei Teile: $\gamma_1$ und $\gamma_2$ (siehe \Cref{fig:thales}). \begin{wrapfigure}{l}{8cm} \centering \resizebox{8cm}{!}{ \begin{tikzpicture}[scale=2.2, font=\footnotesize] \coordinate (a) at (0,0); + \coordinate (m) at (1,0); \coordinate (b) at (2,0); \coordinate (c) at ($(1,0) + (120:1)$); \draw (a) -- (c) -- (b) -- (a); \node[below] at (a) {A}; + \draw pic[fill=wongOrange!20, draw, angle radius=0.8cm] {angle=b--a--c}; \node[color=wongOrange, above right, xshift=0.2cm] at (a) {$\alpha$}; - \draw pic[draw, angle radius=0.8cm] {angle=b--a--c}; \node[below] at (b) {B}; + \draw pic[draw, fill=wongGreen!20, angle radius=1cm] {angle=c--b--a}; \node[color=wongGreen, above left, xshift=-0.5cm, yshift=-0.1cm] at (b) {$\beta$}; - \draw pic[draw, angle radius=1cm] {angle=c--b--a}; \node[above] at (c) {C}; \draw (1,0.05) edge node[below] {M} (1, -0.05); \draw (b) arc (0:180:1); @@ -336,10 +340,11 @@ Angenommen der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ liegt auf dem Halbkreis über der \draw[blue] (a) -- (b); \node[below, blue] at (0.5, 0) {r}; \node[below, blue] at (1.5, 0) {r}; - \draw[blue] (1, 0) edge node[blue, right] {r} (c); - \draw pic[draw, angle radius=1cm] {angle=a--c--b}; + \draw pic[draw, fill=wongOrange!20, angle radius=1cm] {angle=a--c--m}; \node[below, color=wongOrange, yshift=-0.3cm] at (c) {$\gamma_1$}; + \draw pic[draw, fill=wongGreen!20, angle radius=1cm] {angle=m--c--b}; \node[below, color=wongGreen, xshift=0.55cm, yshift=-0.3cm] at (c) {$\gamma_2$}; + \draw[blue] (1, 0) edge node[blue, right] {r} (c); \end{tikzpicture} } % \includegraphics[keepaspectratio, width=4cm]{example-image} @@ -349,11 +354,11 @@ Da nach dem Basiswinkelsatz, $\alpha = \gamma_1; \beta = \gamma_2$, und aufgrun \end{wrapfigure} -Die beiden entstandenen Teildreiecken $AMC$, sowie $MBC$ sind gleichschenklig, da die Strecken $\overline{AM}$, $\overline{MB}$, sowie $\overline{CM}$ alle dem Radius $r$ des Halbkreises entsprechen. +Die beiden entstandenen Teildreiecke $AMC$, sowie $MBC$ sind gleichschenklig, da die Strecken $\overline{AM}$, $\overline{MB}$, sowie $\overline{CM}$ alle dem Radius $r$ des Halbkreises entsprechen. Nach dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke gilt, dass die Winkel $\alpha$ und $\gamma_1$, sowie die Winkel $\beta$ und $\gamma_2$ gleichgroß sind. -Aufgrund der Innenwinkel Summe des ursprünglichen Dreiecks muss folgende Gleichung gelten: +Aufgrund der Innenwinkelsumme des ursprünglichen Dreiecks muss folgende Gleichung gelten: \[ \alpha + \beta + \gamma = \alpha + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 = 180\degree \] Ersetzt man die Winkel $\alpha$ und $\beta$ durch ihre entsprechenden Basiswinkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$ erhält man: \[ \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_1 + \gamma_2 = 180\degree \] @@ -374,7 +379,7 @@ Durch Ausklammern des Faktors 2 und anschließendem beidseitigen Dividieren durc 1. & \acrshort{SuS} formulieren mathematische Sätze in Wenn-Dann-Form. & \gls{K1}, {\small \gls{K3}, \gls{K6}} \\ 2. & \acrshort{SuS} bestimmen die Größe des Winkels $\gamma$ von Dreiecken $ABC$, deren Punkt $C$ innerhalb, auf oder außerhalb des Thaleskreises über $\overline{AB}$ liegt, unter Verwendung ihrer bereits erworbenen geometrischen Kompetenzen. & \gls{K4}, {\small \gls{K3}} \\ 3. & \acrshort{SuS} modellieren Gegebenheiten aus ihrer Alltagswelt mithilfe einer informativen Skizze & \gls{K2}, \gls{K4} \\ -4. & \acrshort{SuS} folgern aus dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke, die Gültigkeit des Satzes des Thales & \gls{K1}, \gls{K3}, \gls{K4} \\ +4. & \acrshort{SuS} folgern aus dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke, die Gültigkeit des Satz des Thales & \gls{K1}, \gls{K3}, \gls{K4} \\ \end{tabular} \makebox[\textwidth][c]{ @@ -465,7 +470,7 @@ Ich habe mich für ein Quiz im Rahmen unseres Hauspokals als Einstieg entschiede Die \hyperref[sec:frage1]{erste} und \hyperref[sec:frage3]{dritte} Frage decken, die vor den Ferien erworbenen Kompetenzen zur Innenwinkelsumme von Dreiecken sowie, dem Basiswinkelsatz für gleichschenkligen Dreiecke ab. Frage \hyperref[sec:frage2]{zwei} und \hyperref[sec:frage4]{vier} wiederholen die in der Vorstunde eingeführte Wenn-Dann-Form für Aussagen. -Die \hyperref[sec:frage5]{letzte} Frage behandelt die Eigenschaften von Kreises, wobei insbesondere die Antwort \textbf{a} ("Alle Punkte auf einem Kreis sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt") für den Beweis des Satzes von Thales von Bedeutung ist. +Die \hyperref[sec:frage5]{letzte} Frage behandelt die Eigenschaften von Kreises, wobei insbesondere die Antwort \textbf{a} ("Alle Punkte auf einem Kreis sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt") für den Beweis des Satz von Thales von Bedeutung ist. % Für die sehr ernste Motivation mit dem dringlichen Thema des Meeresspiegelanstiegs habe ich mich entschieden, da es den \gls{SuS} die Nützlichkeit der mathematischen Modellierung vor Augen führt. Für die experimentelle Erarbeitung der Vermutung, anhand einer "Alltags"-Situation in Verknüpfung mit dem das schuljahrsbegleitenden Hauspokal habe ich mich entschieden um, einerseits die \gls{SuS} zu motivieren und andererseits die Schulmathematik anwendungsbezogen und greifbar zu gestalten. @@ -476,7 +481,7 @@ Der experimentelle Einstieg, bei dem die \gls{SuS} selbst handelnd aktiv werden, Anschließend folgt die \textbf{i}konische Behandlung des Themas anhand der geometrischen Untersuchung des Sachverhalts anhand einer Skizze und der Visualisierung mithilfe der Mathematiksoftware GeoGebra, siehe \Cref{fig:geogebra}. Die Sozialform der Einzelarbeit mit anschließendem Austausch mit der Banknachbarin, sorgt dafür, dass jede mit der Vermutung, dass die Ecken von rechtwinkligen Dreiecken auf dem Thaleskreis liegen und damit der Grundlage des folgenden Beweises herausbildet. -Das abschließende \textbf{s}ymbolische Element bildet der formale Beweis des Satzes des Thales. +Das abschließende \textbf{s}ymbolische Element bildet der formale Beweis des Satz des Thales. Die für diese Phasen gewählte Sozialform ist das Unterrichtsgespräch, um die \gls{SuS} zur Erarbeitung des Beweises hinzufahren und anzuleiten. \begin{figure*} |