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\author{StRef Florian Fischer}
\title{2. Prüfungslehrprobe\\
\date{04. Juni 2024}
\Large Satz des Thales}

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\begin{document}
\maketitle

{
\renewcommand*{\arraystretch}{1.5}
\noindent\begin{tabular}{p{5cm} l}
Fach:   & Mathematik \\
Klasse: & 7A \\
Datum:  & 4. Juni 2024 \\
Zeit:   & 8:45 Uhr bis 9:30 Uhr (2. Unterrichtsstunde) \\
Ort:    & Gymnasium Münchberg, Raum N016 \\
\end{tabular}
\vspace{2cm}

\noindent\begin{tabular}{p{5cm} l}
\textbf{Prüfungskommission} & \\
% Vorsitzender:   & OStD C. Böckl \\
Vorsitzender:   & StD M. Donat \\
Schulleiter der Einsatzschule & OStD G. Koppitz \\
Seminarlehrerin Mathematik: & StRin K. Kreß \\
% Seminarlehrer Informatik: & StD M. Donat \\
Betreuungslehrerin: & StRin P. Müller
\end{tabular}
}

\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Rahmenbedingungen}

Seit Beginn des Schuljahres unterrichte ich die Klasse 7A im Fach Mathematik mit vier Unterrichtsstunden die Woche.

Die vier Wochenstunden verteilen sich auf die ersten Stunden am Montag, und Mittwoch, die zweite Stunde am Dienstag sowie die sechste Stunde am Donnerstag.

In der Klasse 7A befinden sich regulär 19 \gls{SuS}, davon sind 15 weiblich und 4 männlich.

In der Klasse herrscht vor allem in den frühen Stunden meist eine produktive Lernatmosphäre sowie -bereitschaft.
Die Klasse wurde von mir in vier zufällige Teams a 4 bis 5 Personen eingeteilt.
Diese Teams konkurrieren um einen Team-Sieg am Ende des Schuljahrs.
Dem Gewinnerteam wurde ein noch nicht konkret ausgestalteter Gewinn versprochen.
Der aktuelle Zwischenstand wird auf einem Spielbrett, das im Klassen Notizbuch auf Teams für alle einsehbar ist festgehalten.
Jede Hausaufgabe wird von einer Schülerin oder einem Schüler vorgestellt.
Erfolgreiche Vorstellungen werden mit einem Punkt für das eigene Team honoriert.
Punktverlust droht für vergessene Hausaufgaben, und doppelter Punktverlust für vergessene Hausaufgaben, wenn dieses versucht wurde zu verheimlichen.

Begleitend zum Unterricht, gewöhnlich als Wiederholung der Vorstunden, veranstalte ich oft ein kleines Quiz, an dem die Teams mit Ehrgeiz teilnehmen.

In der Klasse sind einige sehr starke \gls{SuS}, die das Unterrichtsgespräch mit guten Beiträgen und ihrer aufmerksamen Mitarbeit bereichern.
Vor allem stechen die Mädchen, Isabelle, Aliena, sowie Elisa aus der ersten Reihe heraus.
Ebenfalls in der ersten Reihe bereichert Marcel den Unterricht durch seine intelligente aufmerksame Art.

Auch Emma sticht durch ihre Mitarbeit und Motivation hervor, hat aber leider Probleme ihr Verständnis und zu Papier zubringen, weshalb ihr schriftliches Notenbild leider ihre Motivation sowie Interesse nicht abbildet.

Der große Rest der Klasse ist eher ruhig aber arbeitet meist zuverlässig mit.

Zum unteren Leistungsspektrum der Klasse zählen viele der \gls{SuS} der letzten Reihe, mit Ausnahme von der bereits erwähnten Emma, sowie Laura, die die siebte Klasse wiederholt.
Laura und ihre Schwester Carina arbeiten ungern zusammen und sitzen auf eigenem Wunsch seit Mitte des Schuljahrs getrennt.

Alle \gls{SuS} arbeiten ausschließlich analog auf Papier.
Der Unterstufe ist das Mitführen von Smartphones nur ausgeschaltet wahrend der Unterrichtszeit gestattet.

\section{Didaktische Überlegungen}
\subsection{Einordnung in den Lehrplan und in den Unterrichtsverlauf}

Die Stunde fällt in den Lernbereich \textbf{M7.5 Kongruenz, besondere Dreiecke und Dreieckskonstruktionen}, welcher 29 Stunden umfasst und somit der zweitgrößte Lernbereich der 7. Jahrgangsstufe ist.
Im verwendeten Schulbuch \citetitle{LS7} vom Klett Verlag wird der Lernbereich als letzter behandelt.
Im ersten Halbjahr werden die Volumen-, sowie Oberflächeninhaltsberechnung von geraden Pyramiden und Kegeln behandelt.

Das Thema der Lehrprobe \textit{Satz des Thales} folgt logisch der vorangegangenen Betrachtungen von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken.
Insbesondere, die Vorkenntnisse über den Basiswinkelsatz im gleichschenkligen Dreieck ist Voraussetzung für den gängigen Beweis des Satzes des Thales.
% SA verschoben
Deshalb und weil für die übernächste Stunde nach der Lehrprobe ein kleiner angekündigter Leistungsnachweis angesetzt ist, ist die Unterrichtssequenz um die Lehrprobe wie folgt gestaltet:

\begin{itemize}
\item \textbf{Vorstunde}: In den letzten beiden Stunde vor den Pfingstferien, machen die \gls{SuS} den Satz vom gleichschenkligen Dreieck und mit besonderem Fokus den Basiswinkelsatz, basierend auf den eingeführten Bezeichnungen der Bestandteile von gleichschenkligen Dreiecken, sowie ihren Kenntnissen über Achsensymmetrie und Kongruenz von Dreiecken plausibel.

\item \textbf{Vorstunde}: In der ersten Stunde nach den Pfingstferien, wiederholen die \gls{SuS} die vor den Ferien erworbenen Kompetenzen in Bezug auf gleichschenklige sowie gleichseitige Dreiecke. Anschließend verwenden die \gls{SuS}, die ihnen aus dem Alltag bekannte Wenn-Dann-Form um mathematische Aussagen und Sätze zu formulieren.

\item \textbf{Lehrprobenstunde}: In der Lehrprobe entwickeln die \gls{SuS} sowohl experimentell als auch an einem Modell eine Vermutung über den Thaleskreis.
Anschließend wird diese durch eine formale Herleitung aus Bekanntem bestätigt.
Der anfängliche Impuls und die Anknüpfung an den das mit besonderem Fokus Hauspokal verbindet die Mathematik mit der Alltagswelt der \gls{SuS} und sorgt für eine Einbettung in den restlichen Mathematik-Unterricht.

\item \textbf{Folgestunde}: In der Folgestunde üben und vertiefen die \gls{SuS} die nun bekannten Zusammenhänge in rechtwinkligen Dreiecken.
Sie beschreiben rechtwinklige Dreiecke mit den Begriffen Kathete und Hypotenuse und führen Dreieckskonstruktionen mithilfe des Thaleskreis durch. 
\end{itemize}

\newpage
\subsection{Vergleich verschiedener Zugänge}

Die beiden untersuchten Schulbücher erarbeiten die Vermutung, dass wenn der Punkt $C$ des Dreiecks $ABC$ auf einem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ liegt, $\gamma$ rechtwinklig ist mehr oder weniger experimentell.
Das verwendete Schulbuch verwendet eine interaktive Modellierung in einer \gls{DGS} (vgl. \cite[195]{LS7}), wohingegen \citetitle{cornelsen2019fokus} ein Experiment, bei dem mithilfe des Geodreiecks und zwei Reißzwecken ein Thaleskreis über den beiden Reißzwecken angenähert wird. \\
Eine dritte Erarbeitung der Vermutung mittels einem realen Beispiel, bei dem ein Fotograf die Würzburger Residenz mit einem $90\degree$ Kamera-Objektiv fotografieren möchte, bietet die im LehrplanPlus angebotene illustrierende Aufgabe \cite{LPP-GY-M_750-5-A_IchDuWirThaleskreis}.

Nach den unterschiedlichen Einführungen beweisen die untersuchten Schulbücher die Vermutung mithilfe des bereits bekannten Basiswinkelsatzes und zwei gleichschenkligen Dreiecken, deren Schenkel dem Radius des Thaleskreises entsprechen.
Das Schulbuch \citetitle{LS7} beweist zuerst, denn Kehrsatz und erst im Anschluss den Satz des Thales.

\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\includegraphics[keepaspectratio, width=6cm]{img/1233px-Thales_theorem_by_refelection1.svg}
\caption{Vervollständigung des Dreiecks $ABC$ zu einem Rechteck $ACDB$ durch Punktspiegelung des Punktes $C$ am Mittelpunkt $M$ des Halbkreises über $\overline{AB}$ (vgl. Wikipedia \cite{thalesRectangle}, freigegeben unter \href{https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/}{Creative-Commons-Lizenz BY 4.0.})}
\label{fig:thalesRect}
\end{wrapfigure}

Die Herleitung über zwei gleichschenklige Dreiecke basiert auf den im Schuljahr bereits erworbenen Kompetenzen in der Bestimmung und Argumentation mit Winkeln und der Konstruktion von Dreiecken und ist damit gut verständlich.

Die mögliche Herleitung des Satzes des Thales per Vervollständigung eines Vierecks, dargestellt in \ref{fig:thalesRect} basiert ebenfalls nur auf bereits erworbenen Kenntnissen zu Symmetrie und insbesondere den Symmetrieeigenschaften von Rechtecken, ist aber komplexer und liegt im Schuljahr weiter zurück.
Der Beweis mithilfe von kartesischen Koordinaten ist nicht für die 7. Jahrgangsstufe geeignet, da der erst im Lernbereich \textbf{M9.6} eingeführte Satz des Pythagoras benötigt wird.

\newpage

\subsection{Sachanalyse}

\subsubsection{Winkel an Geradenkreuzungen}

\begin{figure*}
  \centering
  \begin{subfigure}{.4\textwidth}
    \centering
  % \includegraphics[keepaspectratio, width=0.4\textwidth]{img/winkelKreuzung}
    \scalebox{1.5}{
    \begin{tikzpicture}
      \coordinate (a) at (-2, 1);
      \coordinate (b) at (1, -2);
      \coordinate (c) at (-1.8, -2);
      \coordinate (d) at (1.2, 1.9);
      \path[name path=ab] (a) -- (b);
      \path[name path=cd] (c) -- (d);
      \node[name intersections={of=ab and cd}] (m) at (intersection-1) {};
      \draw pic[fill=blue!40!white, angle radius=1cm] {angle=d--m--a};
      \draw pic[fill=blue!40!white, angle radius=1cm] {angle=c--m--b};
      \draw pic[draw, angle radius=1cm] {angle=a--m--b};
      \draw pic[draw, color=red, angle radius=1cm] {angle=b--m--a};
      \node[above, yshift=0.2cm] at (m) {$\alpha$};
      \node[below, yshift=-0.2cm] at (m) {$\gamma$};
      \node[right, xshift=0.2cm] at (m) {$\beta$};
      \node[left, xshift=-0.2cm] at (m) {$\delta$};
      \draw (a) -- (b);
      \draw (c) -- (d);
    \end{tikzpicture}}
    \caption{Winkelbeziehungen an einer Geradenkreuzung.}
    \label{fig:einfachkreuzung}
  \end{subfigure}
  \hfill
  \begin{subfigure}{.4\textwidth}
    \includegraphics[keepaspectratio, width=\textwidth]{img/winkelDoppelkreuzung}
    \caption{Winkelbeziehungen an einer Doppelkreuzung (vgl. \cite[88]{cornelsen2019fokus}).}
    \label{fig:doppelkreuzung}
  \end{subfigure}
\end{figure*}

Zu Beginn des Schuljahres werden im Lernbereich \textbf{M7.2.2} "Winkelbetrachtung an Figuren", die Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel, für die Winkelbeziehungen an einfachen und doppelten Geradenkreuzungen eingeführt.

An einer Geradenkreuzung nennt man sich gegenüberliegende Winkel \textbf{Scheitelwinkel}.
Es gilt, dass Scheitelwinkel gleich groß sind.
Demnach gilt in der \Cref{fig:einfachkreuzung}, dass die gleich gefärbten Winkel gleich groß sind.
\[ \alpha = \gamma, \text{bzw.~} \beta = \delta \]

Die beiden an einer Geradenkreuzung nebeneinanderliegende Winkel nennt man \textbf{Nebenwinkel}.
Nebenwinkel ergänzen sich immer zu $180\degree$.
Demnach gilt in der \Cref{fig:einfachkreuzung} abgebildete rote Kreisbögen bestehend aus den Winkeln $\alpha$ und $\beta$ ist ein Halbkreis bzw. ein gestreckter Winkel.
\[ \alpha + \beta = 180\degree \]

Von einer Doppelkreuzung spricht man, wenn zwei Geraden von einer Dritten geschnitten werden.
Mann bezeichnet sich entsprechende Winkel an den jeweiligen Kreuzungen als \textbf{Stufenwinkel} ($\alpha_2$ und $\alpha_1$ in der \Cref{fig:doppelkreuzung}).

Den Scheitelwinkel zum Stufenwinkel eines Winkels wird als \textbf{Wechselwinkel} ($\alpha_2$ und $\gamma_1$ in \Cref{fig:doppelkreuzung}) bezeichnet.
Man spricht bei Stufenwinkeln auch von \textbf{F}-Winkel und bei Wechselwinkeln von \textbf{Z}-Winkeln aufgrund ihrer Lage an den Geraden die an die Buchstaben \textbf{F} und \textbf{Z} erinnern.

Wenn zwei der Geraden parallel sind ($g_1$ und $g_2$ in \Cref{fig:doppelkreuzung}), dann gilt, dass Stufen und Wechselwinkel jeweils gleich groß sind.
\[ \alpha_1 = \alpha_2 \text{bzw.} \alpha_2 = \gamma_1 \]

\subsubsection{Innenwinkelsumme eines Dreiecks}

\begin{wrapfigure}{r}{7cm}
\centering
\includegraphics[keepaspectratio, width=6cm]{img/winkelsummeDreieck}
\caption{Die Wechselwinkel $\alpha'$ und $\beta'$ der Innenwinkel $\alpha$ und $\beta$ eines Dreiecks $ABC$ ergänzen sich mit dem dritten Innenwinkel $\gamma$ zu $180\degree$ an einer Hilfsgeraden $g_2$ parallel zu der Dreiecksstrecke $\overline{AB}$ (vgl. \cite[94]{cornelsen2019fokus}).}
\label{fig:winkelsummeDreieck}
\end{wrapfigure}

In einem Dreieck $ABC$ ergibt sich an der Hilfslinie $g_2$ durch den Punkt $C$ und parallel zur Strecke $\overline{AB}$ ein gestreckter Winkel $\alpha' + \gamma + \beta' = 180\degree$.
Da es sich bei den Winkeln $\alpha'$, sowie $\beta'$ um Wechselwinkel zu $\alpha$ bzw. $\beta$ handelt, da $g_2$ parallel zu der Strecke $\overline{AB}$ ist, gilt: $\alpha' = \alpha$ und $\beta' = \beta$ (siehe \Cref{fig:winkelsummeDreieck}).
Daraus folgt:

\[\alpha + \beta + \gamma = 180\degree \]

Demnach gilt für jedes Dreieck $ABC$, dass  die Summe aller Innenwinkel $180\degree$ beträgt.

\subsubsection{Kongruenz von Dreiecken}

Zwei Figuren $F$ und $G$, die sich durch Drehung, Verschiebung oder Spiegelung vollständig zur Deckung gebracht werden können heißen \textbf{kongruent}.

Kongruente Figuren stimmen in allen einander entsprechenden Seiten und Winkeln überein.

Dreiecke sind genau dann kongruent, wenn einer der folgenden Kongruenzsätze gilt.
\begin{itemize}
\item[\textbf{SSS}] Dreiecke die in allen drei Seiten übereinstimmen sind kongruent.
\item[\textbf{SWS}] Dreiecke die in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel der Seiten übereinstimmen sind kongruent.
\item[\textbf{SsW}] Dreiecke die in zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen sind kongruent.
\item[\textbf{WSW}] Dreiecke die in einer Seite und den beiden angrenzenden Winkeln übereinstimmen sind kongruent.
\item[\textbf{SWW}] Da durch die Innenwinkelsumme des Dreiecks aus zwei Winkeln der Dritte eindeutig bestimmbar ist, lässt sich, für ein beliebiges Dreieck von dem eine Seite und zwei Winkel bekannt sind der Dritte bestimmen und somit der Kongruenzsatz \textbf{WSW} anwenden.
Demnach sind Dreiecke die in einer Seite und zwei entsprechenden Winkeln übereinstimmen kongruent.
\end{itemize}

Ein Dreieck, von dem ausreichend Informationen bekannt sind um einen Kongruenzsatz zu erfüllen, ist eindeutig konstruierbar.

\subsubsection{Satz des gleichschenkligen Dreiecks}

Der Satz vom gleichschenkligen Dreieck (vgl. \cite[187]{LS7}) besagt:

Trifft für ein Dreieck eine der folgenden Aussagen zu, so gelten auch die beiden anderen.

\begin{enumerate}[(1)]
\item Das Dreieck ist gleichschenklig.
\item Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
\item Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel.
\end{enumerate}

Insbesondere der Basiswinkelsatz, der besagt das die Winkel, welche die Basis einschließen, die \textbf{Basiswinkel}, in gleichschenkligen Dreiecken gleich groß sind kann wie in \Cref{fig:basiswinkelsatz} dargestellt bewiesen werden.

\begin{figure*}
\centering
\includegraphics[keepaspectratio, width=0.6\textwidth]{img/basiswinkelSatz}
\caption{Darstellung des Basiswinkelsatzes in einem gleichschenkligen Dreieck $ABC$.
Durch die Zerlegung in zwei Teildreiecke nach dem Kongruenzsatz \textbf{SsW} kongruente Dreiecke (vgl. \cite[165]{cornelsen2019fokus}).}
\label{fig:basiswinkelsatz}
\end{figure*}

Zerlegt man ein gleichschenkliges Dreieck $ABC$ mit Basis $\overline{AB}$ anhand der Höhe $h_c$, die senkrecht auf der Basis steht in zwei Teildreiecke, dann sind beide Teildreiecke nach dem Kongruenzsatz \textbf{SsW} kongruent.
Die beiden Schenkel sind gleich da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, die Höhe $h_c$ ist in beiden Dreiecken gleich, sowie der rechte Winkel zwischen der senkrecht auf der Basis stehenden Höhe $h_c$ und dem jeweiligen Teilstück der Basis (siehe \Cref{fig:basiswinkelsatz}).
Da kongruente Figuren in allen Winkeln übereinstimmen, das die beiden Basiswinkel $\alpha$ und $\beta$ gleich groß sind.

\subsubsection{Satz des Thales}

Der Satz des Thales, dessen erster Beweis dem griechischen Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben wird, besagt, dass wenn der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ liegt, dann hat das Dreieck bei $C$ einen rechten Winkel.

Angenommen der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ liegt auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann teilt die Strecke $\overline{CM}$ vom Punkt $C$ zum Mittelpunkt $M$ des Halbkreises den Winkel $\gamma$ des Dreiecks in zwei Teile: $\gamma_1$ und $\gamma_2$ (siehe \Cref{fig:thales}).

\begin{wrapfigure}{l}{8cm}
\centering
\resizebox{8cm}{!}{
\begin{tikzpicture}[scale=2.2, font=\footnotesize]
  \coordinate (a) at (0,0);
  \coordinate (b) at (2,0);
  \coordinate (c) at ($(1,0) + (120:1)$);
  \draw (a) -- (c) -- (b) -- (a);
  \node[below] at (a) {A};
  \node[color=wongOrange, above right, xshift=0.2cm] at (a) {$\alpha$};
  \draw pic[draw, angle radius=0.8cm] {angle=b--a--c};
  \node[below] at (b) {B};
  \node[color=wongGreen, above left, xshift=-0.5cm, yshift=-0.1cm] at (b) {$\beta$};
  \draw pic[draw, angle radius=1cm] {angle=c--b--a};
  \node[above] at (c) {C};
  \draw (1,0.05) edge node[below] {M} (1, -0.05);
  \draw (b) arc (0:180:1);

  \draw[blue] (a) -- (b);
  \node[below, blue] at (0.5, 0) {r};
  \node[below, blue] at (1.5, 0) {r};
  \draw[blue] (1, 0) edge node[blue, right] {r} (c);
  \draw pic[draw, angle radius=1cm] {angle=a--c--b};
  \node[below, color=wongOrange, yshift=-0.3cm] at (c) {$\gamma_1$};
  \node[below, color=wongGreen, xshift=0.55cm, yshift=-0.3cm] at (c) {$\gamma_2$};
\end{tikzpicture}
}
% \includegraphics[keepaspectratio, width=4cm]{example-image}
\caption{Liegt der Punkt $C$ eines Dreiecks $ABC$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$, dann zerteilt die Strecke $\overline{CM}$, das Dreieck in zwei gleichschenklige Teildreiecke $AMC$ und $MBC$.
Da nach dem Basiswinkelsatz,  $\alpha = \gamma_1; \beta = \gamma_2$, und aufgrund der Innenwinkelsumme des Dreiecks $\alpha + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 = 180\degree$ gilt, gilt auch $\gamma_1 + \gamma_2 = 90\degree$ (vgl. \cite[170]{cornelsen2019fokus})}
\label{fig:thales}
\end{wrapfigure}


Die beiden entstandenen Teildreiecken $AMC$, sowie $MBC$ sind gleichschenklig, da die Strecken $\overline{AM}$, $\overline{MB}$, sowie $\overline{CM}$ alle dem Radius $r$ des Halbkreises entsprechen.

Nach dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke gilt, dass die Winkel $\alpha$ und $\gamma_1$, sowie die Winkel $\beta$ und $\gamma_2$ gleichgroß sind.

Aufgrund der Innenwinkel Summe des ursprünglichen Dreiecks muss folgende Gleichung gelten:
\[ \alpha + \beta + \gamma = \alpha + \beta + \gamma_1 + \gamma_2 = 180\degree \]

Ersetzt man die Winkel $\alpha$ und $\beta$ durch ihre entsprechenden Basiswinkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$ erhält man: \[ \gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_1 + \gamma_2  = 180\degree \]

Durch Ausklammern des Faktors 2 und anschließendem beidseitigen Dividieren durch 2 erhält man:

\[ 2(\gamma_1 + \gamma_2) = 180\degree  | :2\]
\[ \gamma = \gamma_1 + \gamma_2 = 90\degree \]

% TODO: Beweis des Kehrsatzes

\section{Planung der Stunde}

\subsection{Lernziele und tabellarischer Stundenverlauf}
\textbf{Stundenziel}: Die \gls{SuS} folgern den Satz des Thales in Wenn-Dann-Form mithilfe einer experimentellen Vermutung, geeigneten Modellierungen, sowie ihren bereits erworbenen Kompetenzen aus der Geometrie. \\[1mm]
\textbf{Feinziele}: \vspace{2mm}\\
\begin{tabular}{l p{0.8\textwidth} l}
1. & \acrshort{SuS} formulieren mathematische Sätze in Wenn-Dann-Form. & \gls{K1}, {\small \gls{K3}, \gls{K6}} \\
2. & \acrshort{SuS} bestimmen die Größe des Winkels $\gamma$ von Dreiecken $ABC$, deren Punkt $C$ innerhalb, auf oder außerhalb des Thaleskreises über $\overline{AB}$ liegt, unter Verwendung ihrer bereits erworbenen geometrischen Kompetenzen. & \gls{K4}, {\small \gls{K3}} \\
3. & \acrshort{SuS} modellieren Gegebenheiten aus ihrer Alltagswelt mithilfe einer informativen Skizze & \gls{K2}, \gls{K4} \\
4. & \acrshort{SuS} folgern aus dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke, die Gültigkeit des Satzes des Thales & \gls{K1}, \gls{K3}, \gls{K4} \\
\end{tabular}

\makebox[\textwidth][c]{
\renewcommand*{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{l p{0.55\textwidth} c c c}
Phase & Unterrichtsgeschehen & Ziel & Methode & Medien \\
\toprule
Wiederholung & Quiz & 1 & \acrshort{UG} & \acrshort{BE} \\
\hline
Motivation & \acrshort{SuS} machen "Foto" im Lichthof, sodass die Wand inklusive Schullogo vollständig sichtbar ist. Die Positionen werden mit Klebeband markiert. && \acrshort{PA} & IPad \\
\hline
Erarbeitung & \acrshort{SuS} untersuchen die Situation auf dem Lichthof schematisch an einer Skizze & 2,3 & \acrshort{IDW} & \acrshort{ON}, \acrshort{AB} \\
\hline
Sicherung & \acrshort{SuS} vervollständigen die Vermutung in Wenn-Dann-Form & 1 & \acrshort{EA} & \acrshort{AB}, \acrshort{ON} \\
\hline
\textit{Erarbeitung} & \textit{(L präsentiert Modellierung in DGS)*} & 2,3 & \acrshort{LV} & GeoGebra \\
\hline
Sicherung & \acrshort{SuS} begründen, dass die Dreiecke $AMC$ $MBC$ gleichschenklig sind & 4 & \acrshort{UG} & \acrshort{AB}, \acrshort{ON}\\
\hline
Sicherung & \acrshort{SuS} formulieren, die Beziehung zwischen den Winkeln der gleichschenkligen Dreiecke & 4 & \acrshort{UG} & \acrshort{AB}, \acrshort{ON} \\
\hline
Sicherung & \acrshort{SuS} schlussfolgern, dass der Winkel $\gamma 90^{\circ}$ betragen muss & 4 & \acrshort{UG} & \acrshort{AB}, \acrshort{ON} \\
\hline
Sicherung & \acrshort{SuS} formulieren, den Satz des Thales und dessen Kehrsatz in Wenn-Dann Form. & 4 & \acrshort{UG} & \acrshort{AB}, \acrshort{ON} \\
\hline
Übung & \acrshort{SuS} formulieren eine Wenn-Dann-Aussage über den Bildwinkel der verwendeten Kamera & 1 & \acrshort{PA} & \acrshort{AB}, \acrshort{ON} \\
\toprule
Hausaufgabe & Buch S. 196 Aufgabe 1a) & \gls{K4}, {\small \gls{K5}} & & \\
\hline
Hausaufgabe & Buch S. 196 Aufgabe 6 & \gls{K1}, \gls{K4} & & \\
\hline
\end{tabular}
} \\[0.2cm]
* fakultativ, \acrfull{DC}, \acrfull{ON}, \acrfull{BE}, \acrfull{AB}

\subsection{Stundenverlauf}

Anders als eine gewöhnliche Stunde habe ich mich gegen das Aufgeben von Hausaufgabe entschieden, da ich durch die Doppelstunde am Vortag genug Übungsmöglichkeiten habe und die gewöhnliche Verbesserung der Hausaufgabe per Vortrag eines \gls{SoS} für eine Einführungsstunde zu wenig Schülerinnenaktivierung bietet.

Die Stunde beginnt mit eines Quiz zur Wiederholung der Vorstunde und den in der Stunde benötigten, Kenntnissen zu gleichschenkligen Dreiecken.
Das Quiz besteht aus 5 Fragen.
Jede Frage wird von der ersten von mir per Meldung wahrgenommenen \gls{SoS} mit Erklärung beantwortet.
Bei korrekter Begründung erhält das entsprechende Team einen Punkt und die antwortende Person darf nicht als nächstes des Teams erneut antworten.
Bei falscher Antwort geht die Frage erneut ins Plenum.

Anschließend, teile ich das Arbeitsblatt, das den Rest der Stunde begleitet aus.
Die Vorderseite soll einen Flyer nachahmen, der die Suche nach einem "Team-Champion" für den Hauspokal bewirbt.
Alles, was für eine Bewerbung benötigt wird, ist ein Bewerbungsfoto mit dem vollständigen Schullogo, sowie eine Wenn-Dann-Aussage über den Bildwinkel der verwendeten Kamera einzusenden.

Um das vermeintliche Foto anzufertigen, geht die klasse geschlossen vor die Tür in den geräumigen Lichthof.
Direkt vor dem Klassenzimmer der 7A hängt eine Leinwand, auf der unter anderem auch das Schullogo abgebildet ist.
Zum "Erstellen" der Fotos werden einige IPads der Schule verteilt.
Die \gls{SuS}, sollen in Paaren eine Position für ein Foto finden, sodass auf dem Foto der komplette Wandbereich, an dem die Leinwand hängt, abgebildet ist.
Ist eine Position gefunden, verweilt die fotografierende Person an dieser Stelle und das Modell nimmt eine Beobachtungsrolle ein, und bildet eine Vermutung darüber welche Figur die Positionen der Kameras bilde.
Der Schüler Nikolas erhält die Aufgabe die Positionen senkrecht unter den Kameras mit Klebeband zu markieren.
% Die restlichen unbeteiligten \gls{SuS} nehmen eine Beobachter-Rolle ein und bilden eine Vermutung darüber welche Figur die Positionen der Kameras bilden.
Die Vermutung, dass es sich bei den Kamerapositionen um einen Halbkreis um das Motiv handelt wird dann wieder im Klassen Zimmer geäußert.

Anschließend, untersuchen die \gls{SuS} die Situation im Lichthof zunächst in Einzelarbeit modellhaft auf dem unteren Teil des Flyers.
Zunächst soll der rechte Winkel $\gamma$ des bereits vorhanden Dreiecks vermessen werden.
Anschließend konstruieren die \gls{SuS} den Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$.
Danach sollen drei neue Dreiecke mit dem dritten Punkten innerhalb, auf und außerhalb des Halbkreises und deren Winkel $\gamma$ bestimmt werden.
Den \gls{SuS} fällt auf, dass die Winkel bei Dreiecken, deren Punkt $C$ auf dem Halbkreis liegen, rechtwinklig und die Winkel innerhalb bzw. außerhalb des Halbkreises größer bzw. kleiner als $90\degree$ sind.

Die entstandene Vermutung wird, wenn die Zeit es zulässt, durch eine mittels GeoGebra visualisierte Darstellung der Situation (vgl. \cref{fig:geogebra}) gefestigt.

Die erarbeitete Vermutung zu der Größe des Winkels der Dreiecke mit Punkt $C$ auf dem Halbkreis wird in Wenn-Dann-Form auf der Rückseite des Arbeitsblattes festgehalten.

Der Beweis der Vermutung wird anschließend schrittweise anhand einer auf dem Arbeitsblatt enthaltenen, unvollständigen Skizze im Plenum aufgebaut. 

Die Strecke $\overline{CM}$ von dem Punkt $C$ des Dreiecks zum Mittelpunkt $M$ des Halbkreises wird eingezeichnet und die Gleichheit der drei Strecken $\overline{AM}$, $\overline{CM}$, $\overline{BM}$ festgehalten.
Daraus wird die Folgerung, dass die neu entstandenen Teildreiecke gleichschenklig sind, abgeleitet und notiert.

Die durch die Teilung von $\gamma$ durch die Strecke $\overline{CM}$ entstandenen Teilwinkel $\gamma_1$ und $\gamma_2$ werden der Skizze ergänzt.
Aus der Gleichheit der Winkel $\alpha$ und $\gamma_1$ bzw. $\beta$ und $\gamma_2$, nach dem Basiswinkelsatz, folgern die \gls{SuS} die Gleichung für die Innenwinkelsumme des Dreiecks und daraus via Äquivalenzumformung, das $\gamma_1$ und $\gamma_2$ sich zu $90\degree$ ergänzen und somit $\gamma$ ein rechter Winkel ist.

Anschließend, formulieren die \gls{SuS} den nun bewiesenen Satz des Thales und notieren dieses inklusive visueller Gedächtnishilfe in der vorgesehenen Definitions-Box auf dem Arbeitsblatt.

Abschließend übertragen, die \gls{SuS} den Satz des Thales auf die Ausgangssituation und stellen die folgende Wenn-Dann-Aussage auf:
\begin{quote}
Wenn die markierten Kamerapositionen auf dem Halbkreis um das markierte Schullogo liegen, dann ist der Bildwinkel der Kamera $90\degree$.
\end{quote}

Die Überprüfung der Aussage können interessierte \gls{SuS} dank der markierten Positionen in der anschließenden Pause vornehmen.

\subsection{Didaktisch-methodische Analyse des Lehrprobeninhalts}
Ich habe mich für ein Quiz im Rahmen unseres Hauspokals als Einstieg entschieden, da die Schülerinnenaktivierung für gewöhnlich ziemlich hoch ist und das Quiz gut in den größeren Rahmen der Stunde passt.

Die \hyperref[sec:frage1]{erste} und \hyperref[sec:frage3]{dritte} Frage decken, die vor den Ferien erworbenen Kompetenzen zur Innenwinkelsumme von Dreiecken sowie, dem Basiswinkelsatz für gleichschenkligen Dreiecke ab.
Frage \hyperref[sec:frage2]{zwei} und \hyperref[sec:frage4]{vier} wiederholen die in der Vorstunde eingeführte Wenn-Dann-Form für Aussagen.
Die \hyperref[sec:frage5]{letzte} Frage behandelt die Eigenschaften von Kreises, wobei insbesondere die Antwort \textbf{a} ("Alle Punkte auf einem Kreis sind gleich weit vom Mittelpunkt entfernt") für den Beweis des Satzes von Thales von Bedeutung ist.

% Für die sehr ernste Motivation mit dem dringlichen Thema des Meeresspiegelanstiegs habe ich mich entschieden, da es den \gls{SuS} die Nützlichkeit der mathematischen Modellierung vor Augen führt.
Für die experimentelle Erarbeitung der Vermutung, anhand einer "Alltags"-Situation in Verknüpfung mit dem das schuljahrsbegleitenden Hauspokal habe ich mich entschieden um, einerseits die \gls{SuS} zu motivieren und andererseits die Schulmathematik anwendungsbezogen und greifbar zu gestalten.

Als didaktisches Prinzip für die Herleitung der Formel für den Satz des Thales wird das EIS-Prinzip nach Jerome Bruner angewandt. %für mathematische Zusammenhänge\todo{Quelle} angewandt.
Der experimentelle Einstieg, bei dem die \gls{SuS} selbst handelnd aktiv werden, ist die \textbf{e}naktive Komponente, die in Kombination mit der Sozialform der Partnerarbeit die \gls{SuS} kognitiv aktiviert.

Anschließend folgt die \textbf{i}konische Behandlung des Themas anhand der geometrischen Untersuchung des Sachverhalts anhand einer Skizze und der Visualisierung mithilfe der Mathematiksoftware GeoGebra, siehe \Cref{fig:geogebra}.
Die Sozialform der Einzelarbeit mit anschließendem Austausch mit der Banknachbarin, sorgt dafür, dass jede mit der Vermutung, dass die Ecken von rechtwinkligen Dreiecken auf dem Thaleskreis liegen und damit der Grundlage des folgenden Beweises herausbildet.

Das abschließende \textbf{s}ymbolische Element bildet der formale Beweis des Satzes des Thales.
Die für diese Phasen gewählte Sozialform ist das Unterrichtsgespräch, um die \gls{SuS} zur Erarbeitung des Beweises hinzufahren und anzuleiten.

\begin{figure*}
  \centering
  \includegraphics[width=0.47\linewidth]{img/geogebra_auf}
  \hfill
  \includegraphics[width=0.47\linewidth]{img/geogebra_in}
  \caption{GeoGebra basierte Visualisierung der Situation im Lichthof}
  \label{fig:geogebra}
\end{figure*}

Das Ende bildet die Anwendung des bewiesenen Satzes auf den Sachkontext in Partnerarbeit.
Die Partnerarbeit sorgt dafür, dass die \gls{SuS} noch einmal selbst aktiv werden, und das Ergebnis und ihre Erkenntnisse austauschen.
Die gesicherte Aussage über das Kamera-Objektiv und die im Lichthof verbliebenen Markierungen erlauben es interessierten \gls{SuS} nach dem Ende der Stunde den Satz des Thales anzuwenden und den Bildwinkel der verwendeten Kamera einzuordnen.

\section{Literaturnachweise}

\printbibliography

\section{Abkürzungsverzeichnis}

\printglossary[title=Prozessbezogene Kompetenzen]
\printglossary[type=\acronymtype]

\section{Erklärung}

Ich versichere, dass ich den Lehrprobenentwurf in allen Teilen selbstständig angefertigt und keine anderen als die verwendeten Hilfsmittel benutzt habe.

\vspace{2cm}
Stammbach, den \today{} \hfil \begin{minipage}{3cm}
\underline{\Large \phantom{Florian Fischer}} \\
\hfil Florian Fischer
\end{minipage}

\section{Anhang}
\subsection*{Fragen des Wiederholungs-Quiz}
\centering
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\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Frage 1}
\label{sec:frage1}
\includegraphics{lesson/quiz/q1}
\hrule
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Frage 2}
\label{sec:frage2}
\includegraphics{lesson/quiz/q2}
\hrule
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\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Frage 3}
\label{sec:frage3}
\includegraphics{lesson/quiz/q3}
\hrule
\phantomsection
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Frage 4}
\label{sec:frage4}
\includegraphics{lesson/quiz/q4}
\hrule
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\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Frage 5}
\label{sec:frage5}
\includegraphics{lesson/quiz/q5}

\begin{landscape}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Arbeitsblatt unausgefüllt}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Arbeitsblatt ausgefüllt}
\includepdf[angle=90, scale=0.95, pages={2,1}, nup=1x2]{lehrer_handout.pdf}
\end{landscape}

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\pagestyle{empty}
\begin{landscape}
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\addcontentsline{toc}{subsection}{Sitzplan}
\input{sitzplan.tikz}
}
\end{landscape}

\end{document}