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\author{StRef Florian Fischer}
\title{1. Prüfungslehrprobe\\
\date{28. Juni 2023}
\Large Oberflächeninhalt einer Kugel}

\acrodef{SuS}{Schüler und Schülerinnen}
\acrodef{HSG}{Hans-Sach-Gymnasium}

\begin{document}
\maketitle

{
\renewcommand*{\arraystretch}{1.5}
\noindent\begin{tabular}{p{5cm} l}
Fach:   & Mathematik \\
Klasse: & 10D \\
Datum:  & \today \\
Zeit:   & 8:00 Uhr bis 8:45 Uhr (1. Unterrichtsstunde) \\
Ort:    & Hans-Sachs-Gymnasium, Raum r416 \\
\end{tabular}
\vspace{2cm}

\noindent\begin{tabular}{p{5cm} l}
\textbf{Prüfungskommission} & \\
Vorsitzender:   & OStD C. Boeckel \\
Seminarlehrerin Mathematik: & StRin K. Kreß \\
Seminarlehrer Informatik: & StD M. Donat \\
Betreuungslehrer: & StR F. Gradel
\end{tabular}
}

\newpage

\tableofcontents
\newpage

\section{Rahmenbedingungen}

Seit dem Ende der Osterferien, d.h. dem 20. April 2023, unterrichte ich eigenverantwortlich die Klasse 10D im Fach Mathematik mit drei Unterrichtsstunden die Woche.
Außerdem unterrichte ich eine Hälfte der Klasse zusätzlich im Fach Informatik.
Die drei Wochenstunden verteilen sich auf die ersten beiden Stunden am Donnerstag und die sechste Stunde am Freitag.
Für die Lehrprobe und auf Grund der Englischschulaufgabe wurde der Mathematikunterricht von Donnerstag mit der Physik- bzw. Chemieübung am Mittwoch getauscht.

In der Klasse 10D befinden sich regulär 32 \ac{SuS}, davon sind 26 männlich und 6 weiblich.

Eine Schülerin, Annalena, nahm auf Grund von Krankheit lange Zeit nicht am Unterricht teil.
Meinen Unterricht besuchte sie bisher ein einziges Mal.
Die Schülerin ist unauffällig, vermeintlich gut in die Klassengemeinschaft integriert und arbeitet mit, aber ohne aktiv am Unterrichtsgespräch teilzunehmen.

In der Klasse herrscht meist eine produktive Lernatmosphäre sowie -bereitschaft.
Die \ac{SuS} arbeiten bevorzugt konstruktiv in Partnerarbeit oder Kleingruppen zusammen.

In der Klasse sind einige sehr starke Schüler, die das Unterrichtsgespräch mit guten Beiträgen und ihrer aufmerksamen Mitarbeit bereichern.
Vor allem stechen Jakub, Tim, Nakulan, sowie in etwas geringerem Maße Erfan und Samuel heraus.
Nakulan ist insbesondere ein sehr sozialer Schüler, der gerne auch von den Mitschüler*innen als Hilfslehrer genutzt wird.%auch für Grundwissen genutzt wird.
Ebenfalls zum oberen Leistungsspektrum der Klasse zählt die sehr fleißige aber zurückhaltende Maria.

Auch Jonathan sticht durch seine Mitarbeit und Motivation hervor, hat aber manchmal Probleme beim Verständnis und dabei seine Gedanken zu sortieren oder zu Papier zubringen, weshalb sein Notenbild leider seine Motivation sowie Interesse nicht abbildet.

Der große Rest der Klasse ist eher ruhig aber arbeitet dennoch konzentriert und zuverlässig mit.

Zum unteren Leistungsspektrum der Klasse zählen leider viele der ohnehin wenigen und ruhigen Schülerinnen der Klasse: Selin, Anna und Romy.
Aber auch manche Schüler haben Probleme dem Lernstand der Klasse zu folgen, dazu zählen: Stojan, Jan-Luka, Prathmesh, Lars sowie Gabriel.

Einige Schüler arbeiten vollständig digital mit Tablet-Computern im Unterricht, wobei keine Tendenz zur Leistungsbereitschaft oder Leistungsvermögen festzustellen ist.

\section{Didaktische Überlegungen}
\subsection{Einordnung in den Lehrplan und in den Unterrichtsverlauf}

Die Stunde fällt in den Lernbereich \textbf{M10.5 Fortführung der Raumgeometrie}, welcher 22 Stunden umfasst und somit der größte Lernbereich der 10. Jahrgangsstufe ist.
Das am \ac{HSG} verwendete Schulbuch \citetitle{cornelsen2022fokus} vom Cornelsen Verlag teilt den Lernbereich zwischen ersten und zweiten Halbjahr auf.
Im ersten Halbjahr werden die Volumen-, sowie Oberflächeninhaltsberechnung von geraden Pyramiden und Kegeln behandelt.
Die betrachteten Körper werden auch als Rotationskörper, die durch Drehung einer Fläche um eine Gerade entstehen, visualisiert und untersucht.

Im zweiten Halbjahr, in dem ich unterrichtet habe, wurde die Volumengleichheit unterschiedlicher Körper mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri bewiesen.
Die Formel für die Berechnung des Volumens einer Kugel ($V_{Kugel} = \frac{4}{3} \pi r^3$) wurde ebenfalls mit diesem Prinzip aus einem Vergleichskörper entwickelt.
Alle neuen Lerninhalte wurden mit Körpern aus der realen Welt motiviert, an diesen angewendet oder in Verbindung gebracht.

% Die \ac{SuS} können mit Hilfe ihrer in vorherigen Jahrgangsstufen erworbenen geometrischen Handwerkszeug (Satz des Pythagoras, Strahlensatz, ...) unter der Verwendung geeigneter Skizzen erarbeiten.

Das Thema der Lehrprobe \textit{Oberflächeninhalt einer Kugel} geht logisch aus der Volumenberechnung der Kugel hervor.
Deshalb und weil für die übernächste Stunde nach der Lehrprobe ein kleiner angekündigter Leistungsnachweis angesetzt ist, ist die Unterrichtssequenz um die Lehrprobe wie folgt gestaltet:

\begin{itemize}
\item \textbf{Vorstunde}: Die \ac{SuS} machen die Volumenberechnung einer Kugel plausibel und wenden sie in Sachzusammenhängen geeignet an.
Sie üben ihren Umgang mit der Formel zur Berechnung des Kugelvolumens auch in Umkehraufgaben.
Die \ac{SuS} lösen komplexe, mehrschrittige Aufgaben unter Verwendung ihrer räumlichen Vorstellung, Skizzen sowie den bekannten geometrischen Zusammenhängen.

\item \textbf{Lehrprobenstunde}: In der Lehrprobe entdecken die \ac{SuS} experimentell eine Annäherung des Oberflächeninhalts einer Kugel.
Anschließend wird diese durch eine formale Herleitung aus Bekanntem bestätigt wird.
Ein realer Bezug durch ein sehr dringliches Thema unser Lebenswelt bettet die Mathematik in die Alltagswelt der \ac{SuS} ein und gibt ihr Bedeutung über die schulischen Anwendung hinaus.

\item \textbf{Folgestunde}: In der Folgestunde üben und vertiefen die \ac{SuS} die Berechnung des Oberflächenhalts einer Kugel.
Sie kombinieren sie mit der Volumenberechnung einer Kugel in Sachkontexten und festigen somit das räumliche Verständnis bezüglich des Körpers Kugel.
\end{itemize}

\subsection{Vergleich verschiedener Zugänge}

In den untersuchten Schulbüchern \citetitle{cornelsen2022fokus}, \citetitle{buchner2022mathe.delta} und \citetitle{LambacherSchweizer2017Mathematik} wird in jedem Fall ein experimenteller Einstieg mit einem Alltagsgegenstand verfolgt.
Es wird entweder ein aus mehreren Fünf- und Sechsecken zusammengenähter Fußball oder eine zuschälende Frucht verwendet.

Eine dritte nicht angeführte experimentelle Annäherung kann über das Wickeln eines Fadens um eine Halbkugel und das anschließende Vermessen des benötigten Fadens erfolgen.

Nach den unterschiedlichen Einführungen leiten alle untersuchten Schulbücher die Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel durch die Annäherung der Oberfläche durch infinitesimale Vielecke und die bekannte Formel für das Kugelvolumen her.

Die Herleitung über infinitesimale Pyramiden ähnelt den bereits vorausgegangenen Herleitungen der Volumenformel für Pyramiden und Kegel und ist damit gut verständlich. %als die Herleitung durch die Aufteilung der Kugel in Schichten und Meridiane \todo{Quelle?}.

Eine mögliche Herleitung der Kugeloberfläche per Differenzialrechnung aus ihrem Volumen ist nicht für die 10. Jahrgangsstufe geeignet, da Differentialrechnung erst im Lernbereich \textbf{M11 4 Grundlagen der Differentialrechnung} eingeführt wird.

\subsection{Sachanalyse}

\subsubsection{Volumen einer Pyramide oder eines Kegels}

\begin{wrapfigure}{l}{4cm}
\centering
\includegraphics[keepaspectratio, width=3cm]{img/pyramiden}
\caption{Annäherung einer quadratischen Pyramide mit Seitenlänge \SI{120}{m} und Höhe \SI{60}{m} über zwei Stufenpyramiden (vgl. \cite[85]{cornelsen2022fokus}).}
\label{fig:pyramiden}
\end{wrapfigure}

Das verwendete Schulbuch \citetitle{cornelsen2022fokus} führt die Berechnung des Volumens einer Pyramide als Annäherung über eine einbeschriebene und eine umbeschriebene Stufenpyramide, wie in \Cref{fig:pyramiden} abgebildet, ein.

Erhöht man die Anzahl $n$ der verwendeten Stufen ins Unendliche ergibt sich für das Volumen einer Pyramide:

\[V_{Pyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\]

Der Kegel wird als Grenzfall einer Pyramide mit einem regelmäßigen n-Eck als Grundfläche betrachtet.
Lässt man wiederum die Anzahl der Ecken der Grundfläche gegen Unendlich gehen nähert sie sich einem Kreis an und somit gilt für einen Kegel:

\[V_{Kegel} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h\]

\subsubsection{Prinzip des Cavalieri}

Das Prinzip des Cavalieri besagt, dass zwei Körper das gleiche Volumen haben, wenn gilt dass:

\begin{quote}
1. Beide Körper den gleichen Grundflächeninhalt haben \\
2. Beide Körper die gleiche Höhe haben \\
3. Die Schnittflächen beider Körper in jeder beliebigen Höhe x gleich groß sind\\
\end{quote}

Mit Hilfe des Prinzips des Cavalieri und geeigneten Beispielen (bspw. ein Stapel von quadratischen Notizzetteln) machen die \ac{SuS} plausibel, dass das Volumen schiefer Prismen und Pyramiden ihren geraden Varianten entspricht.
In anderen Worten das Volumen eines Quaders, einer Pyramide und damit auch eines Kegels hängt nur von der Grundfläche und Höhe ab.
Es gilt also:
\[ V_{schiefesPrisma} = V_{geradesPrisma} = G \cdot H \]
Sowie:
\[ V_{schiefePyramide} = V_{geradePyramide} = \frac{1}{3} \cdot G \cdot H \]

\subsubsection{Volumen einer Kugel}

\begin{figure}
\includegraphics[keepaspectratio, width=15cm]{img/volumen_kegel_halbkugel_zylinder.png}
\begin{tikzpicture}[overlay]
\node at (4.75cm, 1.7cm) {\LARGE $<$};
\node at (10cm, 1.7cm) {\LARGE $<$};
\end{tikzpicture}
\caption{Vergleich der Volumina eins Kegels, einer Halbkugel sowie eines Zylinder abhängig vom Kugelradius r (vgl. \cite[158]{cornelsen2022fokus}).}
\label{fig:Volumen_Kegel_HalbKugel_Zylinder}
\end{figure}

Die Volumenformel wird zuerst für eine Halbkugel hergeleitet.
Das Halbkugelvolumen liegt zwischen dem Volumen eines Kegels mit dem Radius der Halbkugel als Höhe und der gleichen Grundfläche und dem Volumen eines Zylinders mit identischer Grundfläche und ebenfalls dem Radius der Halbkugel als Höhe (Wie in \Cref{fig:Volumen_Kegel_HalbKugel_Zylinder} zu sehen).

Die Vermutung ist, dass das Volumen der Halbkugel dem Mittelwert zwischen Kegel und Zylinder entspricht.
Es gilt also zu prüfen ob gilt:

\[
V_{Halbkugel} = V_{Zylinder} - V_{Kegel} = \pi \cdot r^3 - \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3
\]

Mit dem Prinzip des Cavalieri wird gezeigt, dass die Halbkugel und der Vergleichskörper, ein entsprechender Zylinder, aus dem ein Kegel entfernt wurde, tatsächlich das gleiche Volumen besitzen. 

Aus der Konstruktion des Vergleichskörpers folgt direkt, dass die ersten beiden Bedingungen (gleich große Grundflächen und gleiche Höhe) des Prinzips des Cavalieri erfüllt sind.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[keepaspectratio, width=10cm]{img/cavalieri_schnittflaechen}
\caption{Schnittflächen der beiden Körper in einer beliebigen Höhe $x$ - die zur Ermittlung der Flächeninhalte der Schnittflächen fehlenden Größen $s$ und $z$ sind grün bzw. lila markiert (vgl. \cite[159]{cornelsen2022fokus}).}
\label{fig:cavalieri_vertikalschnitt}
\end{figure}

\begin{figure}
\centering
\includegraphics[keepaspectratio, width=10cm]{img/cavalieri_vertikalschnitt}
\caption{Vertikalschnitt der Halbkugel sowie des Vergleichskörpers (vgl. \cite[159]{cornelsen2022fokus}).}
\label{fig:cavalieri_schnittflaechen}
\end{figure}

Die Gültigkeit der dritten Bedingung (alle Schnittflächen in beliebiger Höhe sind gleich groß) wird am in \Cref{fig:cavalieri_vertikalschnitt} abgebildeten Vertikalschnitt der beiden Körper gezeigt.

Bei den entstehenden und in \Cref{fig:cavalieri_schnittflaechen} gezeigten Schnittflächen handelt es sich um einen Kreis bei der Halbkugel, sowie um einen Kreisring bei dem Vergleichskörper.
Deren Flächeninhalte berechnen sich wie folgt:

\[ A_{Kreis} = \pi \cdot s^2 \]
\[ A_{Kreisring} = \pi \cdot r^2 - \pi \cdot z^2\]

Mit dem Satz des Pythagoras , sowie dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke gilt für die zu bestimmenden Größen:

\[ s^2 = r^2 - x^2 \]
\[ z = x \]

Durch Einsetzen und Umformen der Flächeninhaltsformeln ergibt sich folgende Gleichung:

\[ A_{Kreis} = \pi \cdot (r^2 - x^2) = \pi \cdot r^2 - \pi \cdot x^2 = A_{Kreisring} \]

Damit ist auch die dritte Bedingung des Prinzips von Cavalieri erfüllt und bewiesen, dass die Volumen der Halbkugel sowie des Vergleichskörpers gleich sind und somit das Volumen der Halbkugel und folglich auch der Kugel durch folgende Formeln berechnet werden kann:

\[ V_{Halbkugel} = V_{Zylinder} - V_{Kegel} = \pi \cdot r^3 - \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^3 = \frac{2}{3} \pi \cdot r^3 \]
\[ V_{Kugel} = 2 \cdot V_{Halbkugel} = \frac{4}{3} \cdot \pi r^3 \]

\subsubsection{Oberflächeninhalt einer Kugel}

\begin{wrapfigure}{l}{7cm}
\centering
\includegraphics[keepaspectratio, width=4cm]{lesson/topic/img/kugel_flaechen.png}
\caption{Annäherung einer Kugel durch mehrere Pyramiden (vgl. \cite[164]{cornelsen2022fokus})}
\label{fig:diskokugel}
\end{wrapfigure}

Eine Kugel kann mit Hilfe vieler kleiner Pyramiden $P_1$, $P_2$ , $\ldots$, $P_n$ wie in \Cref{fig:diskokugel} dargestellt, angenähert werden.
Dabei entspricht die Summe aller Flächeninhalte der Pyramidengrundflächen näherungsweise der Kugeloberfläche und die Summe aller Pyramidenvolumina dem Kugelvolumen.
Demnach gilt bei guter Annäherung:

\[ O_{Kugel} = \sum_{i=1}^{n}G_i,\ V_{Kugel} = \sum_{i=1}^{n}V_i \]

Je stärker man die Grundflächen der Pyramiden verkleinert und ihre Anzahl erhöht desto genauer wird die Annäherung.
Mit Hilfe der beiden oberen Gleichungen ergibt sich die Formel für den Kugeloberflächeninhalt aus der Volumenformel einer Kugel in den folgenden vier Schritten:

{
\renewcommand*{\arraystretch}{2}
\begin{tabular}{c c c c c}
$V_{Pyramiden}$ & = & $\frac{1}{3} \cdot$ & $G_1 \cdot r + \frac{1}{3} \cdot G_2 \cdot r + ... + \frac{1}{3} \cdot G_n \cdot r$ & \\
$V_{Pyramiden}$ & = & $\frac{1}{3} \cdot$ & $(G_1 + G_2 + ... + G_n) \cdot r$ & Ausklammern \\
$V_{Kugel}$ & = & $\frac{1}{3} \cdot$ & $O_{Kugel} \cdot r$ & Verkleinern der Vielecke \\
$\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$ & = & $\frac{1}{3} \cdot$ & $O_{Kugel} \cdot r$ & Einsetzen \\
\end{tabular}
}

Damit ergibt sich die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel:
\[O_{Kugel} = 4 \cdot \pi r^2\]

\subsection{Didaktisch-methodische Analyse des Lehrprobeninhalts}

Zur Verbesserung der Hausaufgabe habe ich mich für ein Unterrichtsgespräch entschieden, da ich sicherstellen möchte, dass alle \ac{SuS} die benötigten Formeln verinnerlicht haben und sicher beherrschen.

Für die sehr ernste Motivation mit dem dringlichen Thema des Meeresspiegelanstiegs habe ich mich entschieden, da es den \ac{SuS} die Nützlichkeit der mathematischen Modellierung vor Augen führt.

Als didaktisches Prinzip für die Herleitung der Formel für den Oberflächeninhalt einer Kugel wird das EIS-Prinzips nach J. Bruner angewandt. %für mathematische Zusammenhänge\todo{Quelle} angewandt.
Der experimenteller Einstieg bei dem die \ac{SuS} selbst handelnd aktiv werden, ist die \textbf{E}naktive Komponente, die in Kombination mit der Sozialform der Partnerarbeit die \ac{SuS} kognitiv aktiviert.

Anschließend folgt die \textbf{I}konische Behandlung des Themas anhand der zur Verbildlichung verwendeten Diskokugel und der Visualisierung mit Hilfe der Mathematiksoftware GeoGebra, siehe \Cref{fig:geogebra_disko}.
Das abschließende \textbf{S}ymbolische Element bildet die formale Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts aus der bekannten Formel des Volumens.
Die für diese Phasen gewählte Sozialform ist das Unterrichtsgespräch, um die \ac{SuS} zur Erarbeitung der komplexen Herleitung hinzufahren und anzuleiten.

\begin{figure*}
  \centering
  \includegraphics[width=0.47\linewidth]{lesson/topic/img/geogebra_disko_big.png}
  \includegraphics[width=0.47\linewidth]{lesson/topic/img/geogebra_disko_small.png}
  \caption{GeoGebra basierte Visualisierung der Kugelannäherung aus Pyramiden}
  \label{fig:geogebra_disko}
\end{figure*}

Das Ende bildet die Anwendung der erlernten Formel im Sachkontext in Einzelarbeit.
Die Einzelarbeit sorgt dafür, dass alle \ac{SuS} noch einmal selbst aktiv werden, die Formel anwenden und das Ergebnis bewerten.

\newpage

\section{Planung der Stunde}

\subsection{Lernziele und tabellarischer Stundenverlauf}
\textbf{Stundenziel}: Die \ac{SuS} berechnen den Oberflächeninhalt einer Kugel \vspace{2mm} \\
\textbf{Feinziele}: \vspace{2mm}\\
\begin{tabular}{l p{0.8\textwidth} l}
1. & SuS wenden Formeln zur Volumenbestimmung eines Kegels bzw. einer Kugel an, um das Volumen eines zusammengesetzten Körpers zu bestimmen & K5, K4, K3 \\
2. & SuS machen die Struktur der Formel zur Bestimmung des Oberflächeninhalts einer Kugel plausibel. &  K4, K3, K5 \\
3. & SuS wenden die Oberflächeninhaltsberechnung einer Kugel sicher an. & K5 \\
4. & SuS berechnen den Oberflächeninhalt einer Kugel in geeigneten Sachkontexten. & K5, K3 \\
5. & SuS bewerteten ihre Ergebnisse im Sachkontext & K6 \\
\end{tabular}

\makebox[\textwidth][c]{
\renewcommand*{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{l p{0.55\textwidth} c c c}
Phase & Unterrichtsgeschehen & Ziel & Methode & Medien \\
\hline
Wdh & Verbesserung der Hausaufgabe & 1,5 & UG & ON \\
Motivation & Präsentation des Sachkontexts und Vorstellung des Arbeitsauftrags zur experimentellen Annäherung && UG & BE \\
Erarbeitung & Experimentelle Annäherung der Kugeloberfläche & 2 & PA & ON, AB \\
Erarbeitung & Herleitung der Formel des Kugeloberflächeninhalts durch das Kugelvolumen und infinitesimale Pyramiden & 2 & UG & ON, AB \\
Übung & Bestimmung des prozentualen Teils der gefluteten Landfläche bei einem Meeresspiegelanstieg von \SI{1}{m} und Bewertung des Ergebnisses & 3,4,5 & EA & AB \\
Vertiefung* & Kugelradiusbestimmung aus dem Oberflächeninhalt Buch S. 166 2 & 3 & PA \\
Hausaufgabe & Buch S. 166 Aufgabe2* & 2. & & \\
\hline
\end{tabular}
}
* fakultativ, ON: OneNote, BE: Beamer, AB: Arbeitsblatt


\subsection{Stundenverlauf}

Die Stunde beginnt mit der Verbesserung der Hausaufgabe.
Teil der Hausausgabe ist die Anwendung der benötigten Formeln für die Herleitung der Berechnung des Oberflächeninhalts einer Kugel im späteren Stundenverlauf.

Danach wird der potenzielle Meeresspiegelanstiegs von einem Meter bis zum Jahr 2100 laut dem IPCC Szenario SSP 5-8.2 \glqq{}Taking the Highway\grqq~\cite{maialen2020Atlas} präsentiert.
In einer Studie des \textit{MIT Joint Program on the Science and Policy of Global Change} zur Abschätzung der wirtschaftlichen Folgen des Meeresspiegelanstiegs wird der Flächenverlust bei einem Anstieg von einem Meter mit einem Wert von \SI{150000}{km^2} angenommen~\cite{sugiyama2008estimating}.
Aus der Einordnung des Anstiegs und den damit verbundenen Flächenverlust leiten die \ac{SuS} die Notwendigkeit ab, die Erde als Kugel zu modellieren und ihren Oberflächeninhalt zu berechnen.

Als Anhaltspunkt für die Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts einer Kugel verschaffen sich die \ac{SuS} experimentell eine Vorstellung einer möglichen Formel.
Dazu vermessen die \ac{SuS} in Partnerarbeit eine Mandarine und versuchen anschließend Kreise mit dem gemessenen Radius mit der Schale ihrer Mandarine zu füllen.
Ihre Ergebnisse halten die \ac{SuS} auf einem Arbeitsblatt fest.

Anschließend erarbeiten die \ac{SuS} im Plenum eine mathematisch formale Herleitung der Formel des Oberflächeninhalts einer Kugel aus bekannten Formeln.
Dazu wird die Oberfläche einer Kugel ähnlich wie bei der zur Veranschaulichung gezeigten Diskokugel in $n$ Vielecke unterteilt.
Die Summe aller Flächeninhalte dieser Vielecke nähert den Oberflächeninhalt der Kugel an.

Diese Vielecke werden mit dem Mittelpunkt der Kugel verbunden wodurch Pyramiden mit den Vielecken als Grundflächen und dem Kugelradius als Höhe entstehen.
Das Kugelvolumen wird durch die Summe der Pyramidenvolumina angenähert.

Die \ac{SuS} vollziehen den entscheidenden gedanklichen Schritt, die Zahl der Vielecke und ihren Flächeninhalt ins Unendliche beziehungsweise gegen null gehen zulassen wodurch die Annäherung immer genauer wird.
Als Hilfe zur räumlichen Vorstellung des Annäherungsverfahren dient eine Visualisierung mittels GeoGebra, die einen Körper aus einer variierbaren Anzahl an Pyramiden zeigt.
Der entstehende Körper wird sichtbar kugelförmiger aus je mehr Pyramiden er besteht.
Die GeoGebra basierte Visualisierung und die Annäherung der Kugel ist in \Cref{fig:geogebra_disko} zusehen.

Durch Einsetzen der bekannten Volumenformel einer Kugel und Termumformung leiten die \ac{SuS} die Formel zur Oberflächeninhaltsberechnung einer Kugel her.
Die Schritte der Herleitung werden auf dem Arbeitsblatt gesichert.
Die hergeleitete Formel entspricht dem experimentellen Ergebnis, anderenfalls erörtern die \ac{SuS} mögliche Gründe der experimentellen Abweichungen.

Mit der hergeleiteten Formel bestimmen die \ac{SuS} in Einzelarbeit den Anteil der verlorenen Landfläche durch den Meeresspiegelanstieg von etwa 0.1\%.
Die \ac{SuS} beurteilen ihr Ergebnis, dahingehend, dass dieser Prozentsatz die tatsächliche Problematik für Küstenmetropolen, wie Shanghai, Tokyo, Mumbai und Inseln nicht adäquat widerspiegelt.

\section{Literaturnachweise}

\printbibliography

\section{Erklärung}

Ich versichere, dass ich den Lehrprobenentwurf in allen Teilen selbstständig angefertigt und keine anderen als die verwendeten Hilfsmittel benutzt habe.

\vspace{2cm}
Erlangen, den \today{} \hfil \begin{minipage}{3cm}
\underLine{\Large \phantom{Florian Fischer}} \\
\hfil Florian Fischer
\end{minipage}

\section{Anhang}
\subsection{Verbesserung der Hausaufgaben}
\subsection{Foliensatz}
\subsection{Arbeitsblatt unausgefüllt}
\subsection{Arbeitsblatt ausgefüllt}
\subsection{Sitzplan}

\includepdf{HA_Lehrprobe.pdf}

\includepdf[landscape,pages=-,nup=2x2]{../Mathe/10/5/Kugeloberflaeche/slides.pdf}

\includepdf{../Mathe/10/5/Kugeloberflaeche/handout_schueler.pdf}

\includepdf{../Mathe/10/5/Kugeloberflaeche/handout_lehrer.pdf}

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