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\renewcommand{\AnzahlPunkte}{12} %%Anzahl der Punkte festlegen
\renewcommand{\Verteilung}{6 + 6 BE} %%Anzahl der Punkte festlegen
\begin{Aufg}
Gib den Grad und die Koeffizienten der ganzrationalen Funktion $f(x)$ in Polynomdarstellung an.
Bestimme per Rechnung die Symmetrie zur Y-Achse bzw. zum Ursprung und begründe ihr Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs. \\
\textbf{a)} $f(x) = (x-2)^2 - 4x(x-1)$ \\
\textbf{b)} $f(x) = 2x(x-1)^3$
\end{Aufg}
\begin{Lsg}
\textbf{a)} \\
$f(x) = (x-2)(x-2)-(4x^2 - 4x) =$\\
$(x^2 - 2x + 4)-(4x^2 - 4x) =$\\
$x^2 - 4x + 4 -4x^2 + 4x =$\\
$-3x^2 +4$ \BE{2} \\
Koeffizienten: $a_2 = -3$, $a_0 = 4$ \BE{1} \\
$f(-x) = -3(-x))^2 + 4 =$\\
$-3x^2 + 4 = f(x) \ne -f(x) \rightarrow$ y-Achsen-symmetrisch \BE{1} \ifeh{(0.5 BE auf Rechnung 0.5 BE auf Symmetrie)} \\
Grad ist gerade (2) \BE{1} und $a_2 < 0$ $\rightarrow$ von links unten nach rechts unten. \BE{1} \\
\textbf{b)} \\
$f(x) = (2x)(x-1)(x-1)(x-1) =$\\
$(2x)(x^2 - 2x +1)(x-1) =$\\
$(2x)(x^3 -2x^2 +x -x^2 + 2x -1) =$\\
$2x^4 - 4x^3 + 2x^2 - 2x^3 + 4x^2 -2x =$\\
$2x^4 - 6x^3 + 6x^2 -2x$ \BE{2} \\
Koeffizienten $a_4 = 2, a_3 = -6, a_2 = 6, a_1 = -2$ \BE{1}. \\
$f(-x) = 2x^4 - 6x^3 + 6x^2 -2x =$\\
$2(-x)^4 - 6(-x)^3 + 6(-x)^2 - 2(-x) =$\\
$2x^4 + 6x^3 + 6x^2 +2x \ne f(x) \ne -f(x) = -2x^4+6x^3-6x^2+2x \rightarrow$ keine Symmetrie \BE{1} \ifeh{(0.5 auf Rechnung 0.5 auf Symmetrie BE)} \\
Grad ist 4 \BE{1} $a_4 = 2$ $\rightarrow$ von links oben nach rechts oben. \BE{1}
\end{Lsg}
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