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\renewcommand{\Verteilung}{1.5 + 2.5 + 2}
\begin{Aufg}[Das Heron Verfahren]
\vspace{-1cm}
\begin{enumerate}[a)]
\item Beschreibe knapp die Grundidee des Heron-Verfahren.
\item Erläutere die Bestandteile der Formel des Heron-Verfahrens.
\vspace{1cm}
\[ a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + \frac{r}{a_n}) \]
\vspace{0.5cm}
\item Bestimme ausgehend vom Startwert $a_0 = 3$ eine Näherung des Wertes von $\sqrt{11}$ mit den ersten \underline{zwei} Schritten des Heron-Verfahrens.
\end{enumerate}
\end{Aufg}
\begin{Lsg}[A1, K5, K6]
\begin{enumerate}[a)]
\item Das Heron-Verfahren nähert die Seiten eines Rechtecks \Halfpoint immer näher denen eines Quadrats flächengleichen Quadrats \Halfpoint mit Seitenlänge der gesuchten Wurzel an.\Halfpoint \\
\item
$a_{n+1}$ := neue Seitenlänge nach $n+1$ Schritten\Halfpoint \\[0.1cm]
$\frac{1}{2} \cdot (a + b)$ := arithmetisches Mittel \Halfpoint \\[0.1cm]
$a_n$ := letzte berechnete Seitenlänge\Halfpoint \\[0.1cm]
$\frac{r}{a_n}$ := zweite Seitenlänge\Halfpoint berechnet aus dem Flächeninhalt/Radikand\Halfpoint
\item $x_1 = \frac{1}{2}(3+\frac{11}{3})\Halfpoint = 3\frac{1}{3}$\Halfpoint \\
$x_2 = \frac{1}{2}(3\frac{1}{3}+\frac{11}{3\frac{1}{3}})\Halfpoint = 3,31\overline{6}$\Halfpoint\\
\end{enumerate}
\end{Lsg}
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